图八 希帕索斯
希帕索斯在研究勾股定理时发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度√2就不能归结为整数或整数之比。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希帕索斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，后来被命名为无理数。希帕索斯经洞察力获得的这一成果，本应被毕达哥拉斯所接受，然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。然而更使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。最终，只有在毕达哥拉斯死后，无理数才得以安全地被讨论着。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯学派建立的数学大厦，由此引发了数学史上的第一次危机。
图九 无理数
无理数的发现确实带有一定的戏剧性，并且人类为此付出了生命的代价，但从运算的角度来说，无理数的发现也会是一个必然。就像加法有其简便运算乘法，乘法也有它的简便运算，那就是乘方，譬如：4 4 4 4=4×4=42。就像加法有逆运算减法，乘法有逆运算除法，乘方也有其逆运算--开方。人们发现每个有理数通过乘方（正整数次相乘）都能得到另一个有理数，然而开方却不能，譬如前面讲到的√2，所以类似于√2这样的数是不能称之为有理数的，数系因此再次得到扩充，引入无理数，扩充到实数系。√2的确不是一个有理数，因为它既不是整数，也不是整数之比，希帕索斯当时已经用归谬法向毕达哥拉斯给出了证明，后来，欧几里得又使用经典的反证法验证了这一结论。
有理数的命名来源也颇有趣味。有理数在古希腊的名称为λογο?，意为“成比例的数”，英文翻译为“rational number”,到了日本就翻译成了“有理数”，因为“rational”更通俗的翻译为“理性的”，国人那时便以讹传讹，直接照搬了过来。但仔细想想，这样的翻译也独有韵味，当然，与有理数相对应的数被称作无理数也无可厚非了。
人们在实数系大概停留了有2000年的时间，直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺发表了一般三次方程的求解公式，从此虚数开始萌芽而生，人们开始了数系的又一次扩充之旅。
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