这就是数学史赫赫有名的“一个理发师冲进了大厦，把整个大厦搞了个天翻地覆，甚至直接动摇了整个数学大厦的地基”事件。
理发师引发的第三次数学危机将数学界搞得所有数学家都焦头烂额，直因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白，所以它涉及的是数学基础问题。
这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。
罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。简单来说，承认无穷集合，承认无穷基数，看起来悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。这就是问题的矛盾所在。
这也让许多毕生从事集合论的数学家难以接受，甚至许多成果都付之一炬，数学家弗雷格在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：
"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
这就是真理的无穷，即使我们对于数学大厦的构建耗费了如此巨大的精力，花费了数千年的时间，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。
为了解决危机，1908年策梅洛提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔的完善和补充，形成了ZF公理系统。
(ZF1)外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。
(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。
(ZF3)无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。
(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6)无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。
(ZF7)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”。
(ZF8)替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
(ZF9)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
这在一定程度上解决了第三次数学危机，但是却并没有彻底将理发师从数学大厦当中请出去，长达100多年的数学危机如今还没有解决。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也是危机带给数学界最大的意义。
我们也期待数学家有一天可以真正解决第三次数学危机，甚至建立起一座新的数学大厦。
