数值计算方法总结,数值计算方法和数值分析

1.研究目标为：寻找一个能迅速完成的（迭代）算法，同时评估计算结果的准确度。

2.数值计算研究的核心内容是数值算法的设计与分析。

3.数值计算的本身特点：

• a.离散化：计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。
• b.构造性：方法的构造，解的存在唯一性的证明。
• c.递推性：复杂计算过程转化为简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）
• d.近似替代：在误差允许范围内，无限次计算用有限次计算代替。
• e.模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算。

求解数值计算问题的一般策略是将复杂或困难的问题用解相同或相近的简单问题代替，这种近似过程通常包括以下几种：

• 1.有限维空间代替无限维空间
• 2.用有限的过程代替无限的过程
• 3.用代数方程代替微分方程
• 4.用线性问题代替非线性问题
• 5.用低阶系统代替高阶系统
• 6.用简单函数代替复杂函数
• 7.用简单结构的矩阵代替一般的矩阵

• 1.观测误差（又称测量误差）：由数据观测产生的误差
• 2.模型误差：数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差
• 3.截断误差：由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起
• 4.舍入误差：计算机实现计算时，机器的有限字长所造成。

这里举个例子进行说明

结论：近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值x*的相对误差越小，则近似值越精确。

数值计算的一般标准：

• 运算次数的多少（计算效率）；
• 运算过程是否规律（易编程）；
• 需要记录的中间结果得多少（储存量）；
• 运算方案是否控制误差的传播和积累以保证计算结果有足够精度（数值稳定性）

数值计算中要构造和使用数值稳定的计算方法

• 1.注意计算机数系的运算特点：有理数的有限数集，即浮点数集
• 2.防止两接近的数相减