02
数学符号
现代数学有一个甚至普通人一眼就能看出来的特征，那就是使用抽象符号：代数表达式、看起来很复杂的公式，以及几何图表。数学家对抽象符号的依赖反映出他们所研究的模式的抽象性质。
现实的不同方面需要用不同的形式描述。例如，研究地形或者向某人描述如何在陌生城镇中寻找路线时，最恰当的方法是画一张地图。用文字远没有这样做恰当。类似地，带注释的线条画（蓝图）最适合用来表示建筑物的结构，而音乐符号最适合用来在纸上描绘音乐。对于不同种类的、抽象的、形式化的模式和抽象结构来说，最恰当的描述和分析的手段是使用数学符号、概念和算法。
例如，可以这样用日常语言来陈述加法交换律：
两个数相加时，它们的顺序并不重要。
然而，它通常被写成符号形式：
虽然对于上面那样简单的例子来说，符号形式并没有什么明显优势，但大多数数学模式之复杂和抽象化，使得应用除形式化符号以外的任何工具都会带来过多的烦琐。因此，数学的发展也包括了抽象符号使用的一个稳步增长。
尽管通常认为现代形式的符号数学是由 16 世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达引入的，但代数符号似乎最早出现在亚历山大港的丢番图（生活于公元 250 年左右）的著作中。他的 13 卷论著《算术》（现仅存 6 卷）通常被认为是第一本代数课本。值得一提的是，丢番图使用了特殊的符号来表示方程中的未知数以及未知数的幂，并且用符号来表示减法和相等。
现如今，数学书中有一种符号泛滥的倾向。然而，正如音乐符号不是音乐，数学符号也不是数学。一页音符代表着一份音乐作品，但只有当纸上的音符被唱出或被乐器演奏出时，你听到的才是音乐本身。音乐通过表演而变得鲜活起来，成为我们经验的一部分。音乐并不存在于纸上，而是存在于我们的脑海中。
数学也一样。纸上的符号仅仅只是数学的表示，只是当有能力的表演者阅读它们时（对数学而言，是某些经过数学训练的人），印在纸上的符号才变得有了生命力 —— 数学像抽象的交响乐一样，在读者的脑海里生存和呼吸。
再说一遍，之所以要使用抽象符号，是因为数学帮助我们识别和研究的那些模式是抽象的。例如，在帮助我们理解宇宙中那些看不见的模式上，数学发挥了至关重要的作用。1623 年，伽利略写道：
“只有那些懂得自然是用什么语言书写的人，才能读懂自然这本巨著，而这种语言就是数学。”
事实上，物理学能被精确地描述成透过数学镜片所看到的宇宙。
举一个例子，正因为用数学系统化地阐述及理解物理定律，我们今天才有了航空旅行。当一架飞机从头顶飞过时，你看不到任何支撑它的东西。只有通过数学，我们才能“看见”那使它保持在高空里的、不可见的力。该情形中的那些力被 17 世纪的牛顿辨别了出来，他还发展了研究它们所需要的数学。
尽管直到几个世纪后，技术发展到了一定程度，我们才能真正利用牛顿的数学（已被此期间发展起来的大量其他数学所加强）去制造飞机。这个例子很好地说明了我最喜欢的用来描述数学是什么的一个模因：数学把不可见变为可见。
03
现代大学数学
在简要概述过数学的历史发展后，我可以开始说明，为什么现代大学数学从根本上与中学所教的数学不一样。
尽管在很久之前，数学家就将研究对象的领域扩张到了数（以及表示数的代数符号）以外，但直到一百五十年前，他们仍然把数学看成主要是关于计算的科学。也就是说，精通数学实际上意味着能计算或者利用符号表达式解决问题。大体上说，中学数学仍然在很大程度上以这个早先的传统为基础。
然而，19 世纪期间，由于数学家处理的问题变得前所未有的复杂，他们开始发现，有时候，早先关于数学的那些直觉不足以指导他们的工作。反直觉的（有时甚至是悖论式的）结果使他们领悟到，他们发展起来的用来解决重要实际问题的一些方法会带来一些他们无法解释的结果。
例如巴拿赫 -- 塔斯基悖论。这个悖论说，从理论上讲，取一个球，你能用某种方式将它切成几部分，然后把它们重新组合得到两个一模一样的球，每个都与原来的球同样大小。因为数学是正确的，所以即便它挑战了我们的想象，巴拿赫 -- 塔斯基的结果也必须作为一个事实被接受。
因此，人们明白了，数学能够通往只有通过数学自身才能理解的领域。为了做到不用其他方法验证便能确保我们可以相信利用数学方法所得到的发现，数学家转向了数学内的方法，并用它们检验这门学科自身。
19 世纪中期，这种自省使人们采用了一种新的、不同的数学理念，关注点不再放在演算或者计算答案上，而是放在系统化阐述及理解抽象概念和关系上。这是从强调做到强调理解的转移。人们不再认为数学对象主要由公式给出，而是将它们看成概念化性质的载体。证明不再是依据规则而进行的项的转化，而是始于概念的逻辑推理过程。
这场革命（它确实足以称得上是一场革命）完全改变了数学家看待他们的学科的方式。然而，在世界其他地方，这场改变还没有发生。除了专业数学家，人们最早发现情况有变是在新的着眼点从大学本科必修课中体现出来的时候。作为一名学习数学的大学生，如果你觉得自己在最初接触到这种“新数学”时头昏脑涨，你可以把它们怪到狄利克雷、戴德金、黎曼以及其他所有帮助引入这种新方法的数学家头上。
作为对接下来内容的一个预告，我将给出这场改变的一个例子。19 世纪之前，数学家习惯了这样一个事实：诸如
