这组方程的来龙去脉长尾科技在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》里已经做了详细的介绍，这里不再多说。
这组方程里，E表示电场强度，B表示磁感应强度，ρ表示电荷密度，J表示电流密度，ε0和μ0分别表示真空中的介电常数和磁导率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别表示散度和旋度：
接下来我们的任务，就是看如何从这组方程里推出电磁波的方程。
首先，如果真的能形成波，那么这个波肯定就要往外传，在远离了电荷、电流（也就是没有电荷、电流）的地方它还能自己传播。
所以，我们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，我们得到的就是真空中的麦克斯韦方程组：
有些人觉得你怎么能让电荷密度ρ等于0呢？
这样第一个方程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，没有电场了么？没有电场还怎么来的电磁波？
很多人初学者都会有这样一种误解：好像觉得电场的散度▽·E等于0了，那么就没有电场了。
其实，电场的散度等于0，只是告诉你通过包含这一点的无穷小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以进出这个曲面的电通量（电场线的数量）相等。
这样有多少正的电通量（进去的电场线数量）就有多少负的电通量（出来的电场线数量），进出正负抵消了，所以总的电通量还是0。
于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。
所以这个大家一定要区分清楚：电场E的散度为0不代表电场E为0，它只是要求电通量为0而已，磁场也一样。
这样我们再来审视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组：
方程1和2告诉我们真空中电场和磁场的散度为0，方程3和4告诉我们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。
前两个方程都是独立的描述电和磁，后两个方程则是电和磁之间的相互关系。
我们隐隐约约也能感觉到：
如果要推导出电磁波的方程，你肯定得把上面几个式子综合起来，因为波是要往外传的，而你上面单独的方程都只是描述某一点的旋度或者散度。
有一个很简单的把它们都综合在一起的方法：对方程3和方程4两边同时再取一次旋度。
方程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取一次旋度就变成了▽×（▽×E）；
方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟方程4联系起来了么？
对方程4两边取旋度看起来也一样，这看起来是个不错的兆头。
可能有些朋友会有一些疑问：你凭什么对方程3和4的两边取旋度，而不取散度呢？
如果感兴趣你可以两边都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的结果恒等于0。
这一点你看方程3 的右边会更清楚，方程3的右边是磁场的变化率，你如果对方程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0就是方程2的内容）。
这样就得不出什么有意义的结果，你算出0=0能得到什么呢？
所以，我们现在的问题变成了：如何求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？
因为旋度毕竟和叉乘密切相关，所以我们还是先来看看叉乘的叉乘。
11叉乘的叉乘
在积分篇和微分篇里，我已经跟大家详细介绍了矢量的点乘和叉乘，而且我们还知道点乘的结果A·B是一个标量，而叉乘的结果A×B是一个矢量（方向可以用右手定则来判断，右手从A指向B，大拇指的方向就是A×B的方向）。
而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的结果是一个标量，它就不能再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。
但是，A×B的结果仍然是一个矢量啊。
那么按照道理它还可以继续跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样我们的运算就可以有三个矢量参与，这种结果我们就称为三重积。
A·（B×C）的结果是一个标量，所以这叫标量三重积；A×（B×C）的结果还是一个矢量，它叫矢量三重积。
标量三重积A·（B×C）其实很简单，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们组成的平行四边形的面积，那么这个面积再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好就是三个矢量A、B、C组成的平行六面体的体积。
这个大家对着上面的图稍微一想就会明白。而且，既然是体积，那么你随意更换它们的顺序肯定都不会影响最终的结果。
我们真正要重点考虑的，还是矢量三重积。
矢量三重积A×（B×C），跟我们上面说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）形式相近，密切相关。
它没有上面标量三重积那样简单直观的几何意义，我们好像只能从数学上去推导，这个推导过程，哎，我还是直接写结果吧：
A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。
结果是这么个东西，是不是很难看？嗯，确实有点丑。
不过记这个公式有个简单的口诀：远交近攻。什么叫远交近攻呢？
当年秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近一些，距离C远一些，所以A要联合C（A·C前面的符合是正号）攻打B（A·B前面的符号是负号），这样这个公式就好记了，感兴趣的可以自己去完成推导的过程。
12旋度的旋度
有了矢量三重积的公式，我们就来依样画葫芦，来套一套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。
我们对比一下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只要把A和B都换成▽，把C换成E就行了。
那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。
嗯，▽（▽·E）表示电场E的散度的梯度，散度▽·E的结果是一个标量，标量的梯度是有意义的，但是后面那个E（▽·▽）是什么鬼？
两个▽算子挤在一起，中间还是一个点乘的符号，看起来好像是在求▽的散度（▽·），可是▽是一个算子，又不是一个矢量函数，你怎么求它的散度？
而且两个▽前面有一个电场E，怎么E还跑到▽算子的前面去了？
我们再看一下矢量三重积的公式的后面一项C（A·B）。
这个式子的意思是矢量A和B先进行点乘，点乘的结果A·B是一个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。
很显然的，如果是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前面后面都无所谓（3C=C3），也就是说C（A·B）=（A·B）C。
那么，同样的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就牵扯出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。
13拉普拉斯算子▽²
拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的平方，其实它的定义是梯度的散度。
我们假设空间上一点（x,y,z）的温度由T（x,y,z）来表示，那么这个温度函数T（x,y,z）就是一个标量函数。
我们可以对它取梯度▽T，因为梯度是一个矢量（梯度有方向，指向变化最快的那个方向），所以我们可以再对它取散度▽·。
我们利用我们在微分篇学的▽算子的展开式和矢量坐标乘法的规则，我们就可以把温度函数T（x,y,z）的梯度的散度（也就是▽²T）表示出来：
再对比一下三维的▽算子：
