欧拉
对于当前的目的，把ζ(2) = π2/6代进去，我们就知道了：两个自然数互质的概率等于6/π2！数值计算一下，它约等于60.79%。
这个结论对不对呢？我们还可以用计算机来验证一下。
我的朋友、风云学会会员陈经是计算机专家，他帮我写了一个程序，在1到32768（即2的15次方）之间随机取两个自然数，看它们是否互质。在测试1千万次后，发现两个自然数互质的次数总共有6080726次。因此在这个测试中，两个自然数互质的频率是60.80726%。请看，它跟理论值60.79%是多么接近！
事实上，如果你学过数值分析，你就会知道这是一个相当粗糙的数值实验。在你考虑全体自然数的性质的时候，32768这个取值上限实在是太小了，小得有点令人发笑。以后我们会讲到一个例子，算到1千亿亿都不足以保证结果成立。我们重复一下，1千亿亿！这是一个令人惊掉下巴的例子。但在这里，令人吃惊的却是，对32768这么小的样本取样，就足以得到十分接近理论值的结果。这说明，两个自然数互质的概率这个问题，随着取样范围的增大，收敛得是非常快的。
你看，我们是不是通过研究ζ函数，对质数的分布获得了惊人的结果？
根据同样的推理，我们很快会发现，任选s个自然数，它们互质的概率就是1/ζ(s)。在这里需要说明一下，三个或更多个自然数互质的意思，是所有这些数的整体的公约数只有1，而不是其中任何两个自然数的公约数也只有1。例如考虑2、3、4这三个自然数，其中的两个数2和4不互质，但这三个数的整体是互质的，这种情况我们把它算作三个数互质。
根据这个定义，你很容易看出，s越大，s个自然数互质的概率就越大。因为随着s的增大，某个质数刚好是s个自然数的共同质因子的可能性，就越来越低了。
从ζ函数的角度来考察，也确实应该如此。当s > 1的时候，n-s是一个减函数，所以ζ(s) = Σn n-s也是一个减函数。随着s的增加，ζ(s)在减小，所以ζ(s)的倒数在增大，也就是说s个自然数互质的概率在增大。
好，现在让我们把视线投向任意正整数s对应的ζ(s)。
在这里可以告诉大家，对于正的偶数s，ζ(s)是可以快速求出的，而且其中总是包含圆周率π的s次方。例如ζ(4)，也就是所有自然数的四次方的倒数之和，它等于π4/90，约等于1.0823。由此可以算出，四个自然数互质的概率等于90/π4，约等于92.39%。
然而对于正的奇数s，ζ(s)的计算就会变得非常麻烦，很难有个简单的表达式。例如对于ζ(3)，也就是所有自然数的三次方的倒数之和，我们就只能说它约等于1.2021。你要是想把它精确地表示出来，就只有一些比较复杂的积分或者无穷级数或者连分数的表达形式。
无论如何，根据ζ(3) ≈ 1.2021，我们可以算出三个自然数互质的概率约等于83.19%。从两个自然数互质的概率60.79%，到三个自然数互质的概率83.19%，到四个自然数互质的概率92.39%，我们看到它们确实是在上升的，符合预期。
随着s趋于无穷大，ζ(s) = Σn n-s当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以ζ(s)会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率也确实会趋近于100%，这都是很容易理解的。
你也许会问：s只能取整数值吗？当然不是，它完全可以取3/2（也就是1.5）或者1.6或者π等非整数的值。对于非整数的s，ζ(s)仍然是有明确定义的，只不过这时不能跟所谓“s个自然数互质的概率”联系起来了。你可以计算ζ(3/2)，它约等于2.6124，但你无法谈论所谓“1.5个自然数”。
如果你对分数指数感到迷惑，请翻一下高中数学课本就知道了。这里可以提示一下，一个数的3/2次方，等于它的三次方的平方根。而一个数的π次方，就等于它的3次方、3.1次方、3.14次方、3.141次方、3.1415次方、3.14159次方等等这个数列的极限。
现在，我们对ζ函数增加了许多了解，明白了它跟质数有深刻的联系，并且知道了它在若干个点上的取值。现在，你是不是对这个函数感到很亲切，而不会感到恐惧了？
不过我们必须强调一下，到目前为止，所有的s都是大于1的。你也许会问，ζ(1)等于多少？也就是说，所有自然数的倒数和等于多少？在数学上，我们又把它称为调和级数（harmonic series）。
现在，一个关键点来了：ζ(1)等于无穷大！也就是说，调和级数是发散的！
为什么会这样？让我们把ζ(1)的表达式写出来，就能够做下面的推理：
最后那个式子中，随着项数的增加，会出现无穷多个1/2。无穷多个1/2加起来当然会大于任意的有限值，因此最后的式子是发散的。而ζ(1)比它还要大，所以当然也是发散的。
如果你觉得上面的表达方式不太严格，那么我们真正想表达的意思是：对于任意大的自然数k，都有下面的不等式。
实际上，调和级数虽然是发散的，但它发散得非常慢。把前面的10的43次方项加起来，都没有超过100。10的43次方是多少？一亿是10的8次方，所以10的43次方就是1千亿亿亿亿亿。用物理世界举个例子，整个宇宙的半径大约是137亿光年，量级是10的26次方米，一个原子核的半径是10的-15次方米的量级，宇宙半径除以原子核半径也不过是10的41次方而已，还要再乘以100才能达到10的43次方。想想看，1千亿亿亿亿亿个数加起来，都没超过100！这是怎样的一种增长速度啊！
为什么会这样呢？原因又是欧拉告诉我们的。欧拉证明了，调和级数的增长速度，大致就是自然对数的增长速度。如果你没学过自然对数，那么可以简单解释一下：常用对数（经常写成lg）是以10为底的对数，而自然对数（经常写成ln）是以e为底的对数，这里的e是一个常数，约等于2.71828。为什么要以这样一个数为底？因为在数学上，lnx具有许多很好的性质，处理起来比lgx方便得多。其实在数学中，自然对数才是“常用”的，比所谓“常用对数”常用得多。
欧拉
更具体地说，欧拉证明了，调和级数的前n项之和约等于lnn，而随着n的增大，它们的差值会趋近于一个常数γ：
