这个常数叫什么名字呢？当然，又叫做欧拉常数（Euler’s constant）……咦，我为什么要说“又”呢？
欧拉
我们可以用两个面积的差来形象地表现欧拉常数。一个面积是一系列的矩形之和，它们的宽度都是1，而高度从1到1/2，到1/3，到1/4，如此等等，一路下降。另一个面积是y = 1/x即倒数函数曲线下面的面积，即图中的深红色部分，数学家会告诉你，它就等于lnx。这两个面积的差，就是图中的蓝色部分。
用面积表示欧拉常数
你会看到，在每一个矩形中，矩形的面积都大于倒数函数曲线下方的面积，但相差得越来越小。当x趋于无穷的时候，蓝色部分的面积就趋于一个有限值，它等于欧拉常数。
了解了调和级数即ζ(1)的发散性质以后，让我们回到欧拉乘积公式。在上一期中我们说过，欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立。有同学问我，欧拉乘积公式的推导过程好像跟s完全没有关系，那么它是不是对于任意的s都成立呢？回答是：不行，只有对大于1的s才成立。
这是因为我们的推导过程有一个前提，就是ζ(s)是一个有限值，或者说ζ(s)是收敛的。只有在这个前提下，才能把它当成一个正常的数进行种种操作，例如乘以1 - f(2)，消去所有包含2n的项。但假如ζ(s)是发散的，那么这样的操作就毫无意义，有可能导致各种各样的错误。例如你经常听说的所谓“全体自然数的和等于-1/12”，就是这样的一个错误！
在欧拉那个时代，许多数学知识的基础定义还不够严格，数学家还经常搞一些有越界之嫌的操作，欧拉就搞了不少。而现代的数学家是非常注重严格性的，他们给你看的证明，一定都是保证了可靠性，每一步都有精确定义的。我虽然不是数学家，但我给你看的证明，也一定是保证了可靠性的。
既然ζ(1)是发散的，那么你很容易发现，当s < 1的时候，ζ(s)会变得更大，当然就更是发散的了。因此，对欧拉ζ函数的研究，只能在s > 1的范围内进行。从中我们确实能得到一些有趣的结论，例如s个自然数互质的概率等于1/ζ(s)，但这些毕竟还是对质数分布的间接了解，直接的了解还很欠缺。
如何才能对质数的分布获得更加深入的了解呢？
我们的大事件来了：你的好友黎曼已上线！欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数！
黎曼
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致谢： 感谢著名科普作家、《黎曼猜想漫谈》的作者卢昌海博士、美国新墨西哥大学数学与统计系助理教授黄宏年博士、哆嗒数学网网主以及浙江大学数学博士“贼叉”在科学方面的指教。
作者简介： 袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
责任编辑： 孙远
