罗巴切夫斯基首先对第五公设加以否定，再接着使用这个否定命题和其它为众人所接受的公理公设组成新的体系，最后由此展开逻辑推演。
因此，罗巴切夫斯基对第五公设推理出的同样的命题首先做出了否定。“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”这个大家所熟悉的定理，就被他否定了得出“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。
逻辑推演过程中充满了各种艰辛，罗巴切夫斯基得到了许多在当时看来胆大异常堪称荒谬的结论，如三角形的内和小于一百八十度。
不过，更让人惊异的是，罗巴切夫斯基经过反复谨慎的检验审查，这些结论并不是谬误，他们甚至可以组成自己的一套逻辑体系，独立于欧几里得几何的一套体系！当时的他还不知道，后世为了纪念他，把这套体系称为“罗氏几何”，他的名字因此在历史上留下了滚烫的印记。
尽管可能看起来难以接受，但是罗巴切夫斯基在告诉自己这样的结果之后，他产生了更加大胆的想法。他将这套体系称为“想象几何”，这个体系和欧几里得的截然不同，罗巴切夫斯基认为，这个体系的存在正好证明了第五公设是不可证的。
他终于做到了，也只有他的过人的天赋、跳脱的思维和无尽的努力才能达到这样成果。不过，新的事物总要经过无数的诋毁才能被人所接受，等待他的，并不是他期望的。
众人的冷漠罗巴切夫斯基准备将他这一份具有巨大意义的结果宣布给世界。于是在1826年2月23日，罗巴切夫斯基在母校喀山大学数学系学术会议上，向大家宣读了在他去世十二年后为世人所赞叹的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。
在那看起来好似平平无奇的一刻，非欧几何正式公诸于世了，几何学的新世界似乎被掀开了一个角。遗憾的是，也仅仅是一个角而已。
第一篇关于非欧几何的论文一经发表就遭到了冷遇。当时的人怎么可能会理解“假设两条平行线无限延长时，它们会在无穷远处相交，即两条平行线可以相交”；“三角形的内角和也可以不等于180°”。对于现代大多数普通人人来说，这些也是比较偏僻的知识点。
罗巴切夫斯基在他们学校的声望颇高，在诸位老师眼里也是数学界的希望。但是，在会议上，著名的数学家们当即提出了反对的声音。他们对于罗巴切夫斯基新奇古怪的理论感到非常不理解，为什么一个有着光明未来的年轻人，会有着这样离经叛道的的想法？
在会后可以看到一个有些可怜的场景，一位年轻人拿着自己的论文，执着地找各位专家教授进行讨论，得到的只有推脱和回避。年轻人的真挚和热诚连带着他的论文一起被拒绝于传统世界的门外。
生前的嘲笑罗巴切夫斯基跟他这一发现较上了劲，他并没有选择放弃。他更加完善了第一篇论文的内容，使罗氏几何变得更加精细。最终，在他的努力之下，《几何学原理》的论文在1829年通过《喀山大学通报》发表了。
罗巴切夫斯基是多么渴求一位同僚的认可！喀山大学的朋友师长们理解不了他，他便去寻找彼得堡科学院的著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士。未曾令他想到的是，他得到是更加过分的回答。
不是冷遇、不是回避，而是嘲讽。他的一切都被科学院被认为是谬误，这篇论文就没有存在的必要。事情发酵得超出了想象，甚至有人匿名在报纸上发布了一篇含有人身攻击内容的文章。可悲的是，当时的杂志也不让罗巴切夫斯基发表一切反驳内容。
在权威面前，质疑就那么难吗？罗巴切夫斯基不明白，他所知道的是，自己的结果是有价值的，是一种真理，是值得数学学界进行讨论的。在权威面前，一定要质疑吗？和他同时代的数学家们不明白，欧几里得的想法怎么会错呢，古希腊人积累的智慧的结晶怎么会错呢，那些为第五公理呕心沥血的先辈伟人们怎么会错呢！
著名数学家布尼雅可夫斯基、莫尔甘对非欧几何都公开表示了他们认为这种新的几何体系简直是无稽之谈。
