▲根据执行机构能力分类
如上表，根据Tu和Tg的比值，我们把受控系统分为I型，II型和III型。
假设测试的阿喀琉斯是属于I型的受控系统，可以很好的被控制，根据测试结果用比较合适的采样和执行周期，比如每5秒钟检测一次位置情况并分别用P模型PI模型和PID模型来说明一下具体追赶过程。
第一种模型：在P模型下，只有比例环节P=2，周期为2秒通知。第一个2秒阿喀琉斯跑了55米，乌龟爬了0.01米，误差还有4.5%，PID算法得出下面需要用9%的力量去跑，又过了2秒，阿喀琉斯还落后乌龟1米，那么阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，又过了2秒，阿喀琉斯还落后了乌龟1米，控制系统告知阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，结果1个小时过去了，阿喀琉斯始终在乌龟的后面1米的位置，2%的速度基本和跑步机向后的速度相当了，始终无法与乌龟位置一致。系统已经稳定了，还始终存在这样一个偏差，就是稳态误差，看来想要消除这个误差，我们需要用下一个模型-PI模型。
▲比例P模型参考图
第二种类型，在PI模型下，在加入了积分环节后，假设积分时间设为30秒，那么根据公式，要计算阿喀琉斯在过去的30秒总共累积了多少误差（即把每次的误差都累加起来）。如上文2秒钟一通知，30秒会通知15次，这15次测量的距离误差都加起来。，开始的时候距离比较远，积分项会给阿喀琉斯带来更快的速度指令，但由于是考虑了之前的误差正向的，所以即使刚刚跑过了，15次误差的和还是正向的，所以会一直指导阿喀琉斯向前冲到下图1的位置，这个时候过去的累积误差已经是负的了，才要求阿喀琉斯向后跑，整个向后的过程又重复之前的累积误差，直到冲到下图2的位置才向前，所以最后的效果就是1-2-3-4-5，阿喀琉斯慢慢的向乌龟靠近，随着时间的推移，误差越来越小，最后达到消除了稳态误差。
▲比例积分PI模型参考图
然而在上一个PI模型下，我们是否察觉阿喀琉斯来回跑的次数太多了？明明已经超过了乌龟很远了，还不回头（阿喀琉斯：PID控制器让我这么做的，你以为我不想回头吗！）。为了解决这个问题，需要引入微分分量，就是解决对未来趋势预测的问题，高等数学中讲到过微分就是求导，已知位置对时间的导数就是速度，速度对时间的导数就是加速度。用前一次误差减去当前次误差，如果有变化，因为测量的时间段相同，所以就意味着误差改变率发生了变化，就能预测未来下一次可能出现的误差会是什么样，就像我们知道了加速度的变化就可以推测速度的趋势是一个道理。按上面PI的算法，前一次误差假设是5%，当前误差是3%，因为是每两秒钟测量一次，所以计算的微分项是3%减去5%，再除以时间，得到-1%的的积分项，如果积分时间是30秒，代表这样的积分效果要持续30秒时间。这样当阿喀琉斯越靠近乌龟，减少效果越明显，当阿喀琉斯超过了乌龟的位置，比如超过了1%，那么微分项是-1%减去之前的3%，再除以采样时间2秒，得到-2%的减速项，这样的减速效果还要持续30秒的时间，可以看到增加了微分项能有效减少阿喀琉斯超出乌龟的位置，如下图13，只要找到合适的微分时间就能使阿喀琉斯提前减速，在刚刚超越乌龟的时候就往回返，快速稳定的和乌龟保持同一位置。
▲比例积分PID模型参考图
最后我们动态的显示下，追赶过程中各个参数的变化对追赶路径的影响，下图红线表示乌龟的位置，蓝色线表示阿喀琉斯的追赶位置。
