现在我们可以发现，Q除以以上任何一个质数，都有余数1，所以Q不能被以上的任何质数整除。但我们知道，任意正整数要么是质数，要么能被分解为一组质数。这就意味着，Q要么是质数，要么能被比更大的质数整除。与我们的为最大质数假设相矛盾，原假设不成立，故不存在最大质数。
质数是如何分布的？我们知道质数的数量随数值增大而减少，但它们不会逐渐消失。那下一个问题便是，我们能否得知质数的分布？质数是否像化学元素排列在元素周期表上那样符合某种分布？这是整个数学界的重要问题之一。
质数之间的间距看上去呈无规则变化，但正如上文所列呈现出不断增大的趋势，。质数定理表明函数x/ln(x)所得为小于x的质数个数的近似值，其中ln(x)为x的自然对数，我们用π(x)表示小于x的质数的实际个数，随着x的增大，近似值逐渐趋近于实际值。下表为两个函数之间的比较：
没有一个简单的公式能够归纳所有的质数，但欧拉得出了一个具有代表性的公式：
因为对于每个整数n，函数值都大于等于40的质数，输出的质数有：
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131,151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.
该公式不可避免地在n=41时无法输出质数，因为此时不可避免的由下式得出结论来。
此外，欧拉还提出了一个更重要的函数，即现在我们所知的ζ函数:
