欧拉给出了ζ函数的无穷项积形式
其中的积包含所有的质数p。从而可知一个明显的结论：当该函数表示为无穷项和时，和的通项取所有正整数，但当该函数表示为无穷项积时，积的通项只取所有质数。
欧拉把该函数定义在s>1时有效。在定义域内，即使和包含无数项，但总收敛于某个值。然而，当s<=1时，这一系列项的和却是分散的，从而导致函数难以定义。比如，取s=-2时有
每一项都在无穷无尽地增大。相比之下，取s=2有
可以求和得
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