波恩哈德·黎曼
波恩哈德·黎曼在1859年发表了他在数论方面唯一的论文。论文中黎曼论述了一个函数，当s>1时，该函数与欧拉ζ函数完全相同，但黎曼的函数能够定义在全体实数上。实际上黎曼ζ函数是定义于复数s上的，其中 s=a b i，且 i²=-1。
黎曼证得他的解析连续ζ函数与质数分布有着密切联系。他惊人的直觉使得他将连续复变函数的性质与质数那实数与独立的性质联系在一起。更具体地说，黎曼说明了π(x)与ζ函数的零点的关系，其中π(x)是比x小的质数。黎曼发现当s取实数时，即便是取负整数，如s=-2,-4,-6,…ζ函数均为零，但黎曼同样发现了函数的其它零点都出现s=1/2 bi直线上。其中第一个零点大约在b=14.134725处。黎曼猜测ζ函数的所有的非实数零点都在s=1/2 bi上，虽然他尚不能证明这一点。这个猜想很快成为人尽皆知的黎曼猜想，并成为了理解质数分布的关键。最近，由计算机算得至少前1000亿个非实数零点s全都落在黎曼猜想的线上。但是，到目前为止，仍未证得这个猜想没有例外。
英国的数论数学家G.H.哈代在他的书《一个数学家的自白》中讲到，他在20世纪20年代从丹麦跨国南海返航启程之前留了一张纸条给同事，里面写着自己已经证明了黎曼猜想，他预料到航行的危险。尽管是一个坚定的、并致力于劝服别人的无神论者，哈代解释道他写那张纸条的目的是希望上帝能够保佑他不会淹死。因为假若他淹死了，就意味着数学家生前声称已证明了，却在与别人讨论证明之前就离世的著名数学问题有两个，即费马大定理与黎曼猜想。费马大定理早已在数学界中名声显赫。17 世纪法国的律师兼业余数学家皮埃尔·德·费马，也是数论历史上的名人之一。他在阅读关于丢番图《算术》所著《页边笔记》中此命题旁边写道：
将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。
而在费马去世之后，数学家们用了 350 年的努力，才把猜想变成这个定理。
数学界最难的问题？
乌拉姆的质数螺旋
自从黎曼发表论文的150年间都没有人能证明或证伪他的猜想，但费马大定理最后在1994年被安德鲁·怀尔斯成功证明。黎曼猜想是当今数学界最著名和最杰出的问题。同时相比于费马大定理，黎曼猜想有着更深远的数学意义。实际上，许多数学家在假定黎曼猜想正确的基础上发展了许多数学领域。黎曼猜想看上去也比费马大定理更难解。
所有编码在ζ函数中模模糊糊的质数规律仍未被清晰地破解。但是黎曼猜想展示了一个关于质数的更明显的规律。1963年，一位在美国专攻原子核项目、曾参与曼哈顿计划的波兰数学家塔尼斯拉夫·乌拉姆在二战期间的参与了一个会议，他在会议的研讨会期间心不在焉地随手乱画。画了一个正方形的网格图，然后在网格图的中央标记1，接着以螺旋形往外的方向按递增顺序标记了其他的正整数。乌拉姆十分惊喜地注意到：当他以这种方式排列整数时，在网格图的对角线上整齐地排列着质数。
这个结果太过出乎预料，以至于质数螺旋的图片登在了《科学美国人》杂志1964年3月期的封面，同时杂志中刊载了马丁·加德纳的文章《Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number.》。
