上面的等式可以改写为
其中v是单位向量。因此，特征值项λᵢ主导了上述每个项的重要性。事实上，如果它太小，我们可以完全放弃相应的项λᵢvᵢvᵢᵀ。
该分解特性和“ S具有n个正交特征向量”是对称矩阵的两个重要特性。
正交特征向量
特征向量不是唯一的。但通常，我们可以“选择”一组特征向量来满足某些特定条件。如前所述，对称矩阵的特征向量可以选择为正交。如果S是对称矩阵，则其特征值λ和μ满足以下条件。
证明
从这种情况来看，如果λ和μ具有不同的值，则等效性迫使内积为零。因此，x和y是正交的，并且很容易将它们归一化为具有单位长度 - 正交。这证明了如果它们的相应特征值不同，我们可以选择S的特征向量是正交的。即使有重复的特征值，对于对称矩阵仍然如此。
证明 - 第2部分（可选）
对于n×n对称矩阵，我们总能找到n个独立的正交特征向量。最大的特征值是
