为了求最大值，我们令r(x)的导数为0。经过一些处理，得到
即，当x是特征向量且特征值最大时，r(x)的比值最大。通过归纳，我们可以推导出我们可以用正交于前一个的特征向量找到下一个最高的特征值。这只是证明的高级描述。
谱定理（Spectral theorem）
让我们总结一下。每个n×n对称矩阵S具有n个实特征值λᵢ，其中有n个正交特征向量vᵢ。
这些特征值可以形成对角矩阵Λ as diag(λ)。我们还可以将特征向量vᵢ连接到V，即，
我们将V重命名为Q.因为Q是正交的，所以它是可逆的并且Qᵀ= Q-1。因此，对称矩阵S可以分解为
