帕斯卡定理在圆锥曲线中怎么应用,圆锥曲线硬解定理没什么用

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-11-06 17:25:21

由于《圆锥曲线论》思想过于超前,这使得它在自诞生之后的一千多年里基本没有得到实际应用,这与《几何原本》是很不同的。直到伽利略和开普勒在天文学和力学的研究中使用圆锥曲线以后,它的真正作用才开始显露出来。如果问为什么数学往往是超越时代的,那么《圆锥曲线论》可以给出一个完美的解释。

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开普勒第三定律图示

重生

对于推动几何学的发展而言,《圆锥曲线论》可谓功不可没,它的作用绝不亚于《几何原本》。欧洲大陆在经历漫长的中世纪黑暗之后,又兴起了研读古希腊经典文献的热潮,但当他们拿起《圆锥曲线论》之后,却陷入尴尬境地之中,阿波罗尼奥斯已经极尽了研究圆锥曲线的几何方法,以至于后来者完全无法插足其中。

而且随着代数学的兴起,几乎毫无发展的几何学颇有“夕阳西下”之势,这一局面在射影几何诞生之后才有所改观。射影几何用更加先进的几何思想来审视几何对象之间的关系,也就重新解释并升华了《圆锥曲线论》的内容和思想。完成这一创举的数学家包括有我们比较熟悉的德萨格和帕斯卡等人,特别地,帕斯卡证明了著名的“帕斯卡六边形定理”

对于内接于圆锥曲线的六边形,它的三对对边的延长线相交所产生的三个点共线。

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这样的命题显然是阿波罗尼奥斯无法证明的。

但就如今的观点来看,射影几何却已经是历史上纯几何发展道路上最后的高潮。直到笛卡尔和费马时代,《圆锥曲线论》仍然是几何学家手中最重要的资料。对于解析几何的创立而言,《圆锥曲线论》这本将近两千年前的著作同样也是首屈一指的功臣,实际上,费马最早就是在研读这本著作的过程中逐渐产生了解析几何的数学思想。在这里,我们也要多说一句,《圆锥曲线论》中事实上已经包含了原始的坐标思想,但在复杂的纯几何观点下,它始终是无法发展起来的。

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自解析几何创立之后,圆锥曲线的研究范围被大大扩展,例如它的理论已经被推广到曲面中去,包括椭球面,双曲面,椭圆抛物面等等。随着微积分的横空出世,微分几何开始兴起,研究圆锥曲线变得更加简单,自此之后,纯几何愈发式微,如今已经只能怀念了。

圆锥曲线的重要性如今已不言而喻,小到微观,大至宇宙,它无处不在,例如地球的轨道十分接近椭圆,而太阳正位于其中一个焦点。在实际生产生活中,圆锥曲线也发现着巨大的作用,例如雷达接受器等都要做成椭圆抛物面的形状,这正是因为一个良好的性质:

平行于轴的光线经椭圆抛物面的反射之后,都会经过焦点。

实际上,利用这个原理,类似于聚光灯这样的东西也都会做成椭圆抛物面。除此之外,圆锥曲线还有众多良好的性质为我们所用。

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