圆的切线:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .
一、圆的切线的判定及相关计算
1.如图,以 △ABC 的边 AB 为直径作 ⊙O,与 BC 交于点 D,点 E 是弧 BD 的中点,
连接 AE 交 BC 于点 F,∠ACB=2∠BAE .
求证:AC 是 ⊙O 的切线.
例题1图
【分析】连接 AD,利用等弧所对圆周角相等及 ∠ACB=2∠BAE 可得到 ∠BAD=∠BCA,
再结合直径所对圆周角为直角即可得证.
证明:如解图,连接 AD.
例题1解图
∵ 点 E 是弧 BD 的中点,
∴ 弧 BE = 弧 DE,
∴ ∠1=∠2 .
∵ ∠BAD=2∠1, ∠ACB=2∠1,
∴ ∠ACB=∠BAD.
∵ AB为 ⊙O 直径,
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∴ ∠DAC+∠C=90°.
∵ ∠C=∠BAD,
∴ ∠DAC+∠BAD=90°.
∴ ∠BAC=90°,即 AB⊥AC.
又 ∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ AC 是 ⊙O 的切线.
证明切线的常用方法:
1.直线与圆有交点,“ 连半径,证垂直 ”.
(1) 图中有 90° 角时,证垂直的方法如下:
① 利用等角代换:
通过互余的两个角之间的等量代换得证;
② 利用平行线性质证明垂直:
如果有与要证的切线垂直的直线,则证明半径与这条直线平行即可;
③ 利用三角形全等或相似:
通过证明切线和其他两边围成的三角形与含 90° 的三角形全等或相似得证.
(2) 图中无 90° 角时:
利用等腰三角形的性质,通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线,
再根据 “ 三线合一 ” 的性质得证.
2.直线与圆无交点,“ 作垂线,证相等 ”.
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,⊙O 是 △ABC 的外接圆,点 D 在 ⊙O 上,且弧 AD=弧 CD ,
过点 D 作 CB 的垂线,与 CB 的延长线相交于点 E,并与 AB 的延长线相交于点 F .
(1) 求证:DF 是 ⊙O 的切线;
(2) 若 ⊙O 的半径 R=5,AC=8,求 DF 的长.