例题3解图
∵ AB 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB＝90°，
∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 .
∴ 在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得 BC = 6 .
又 ∵ ∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，
∴ △ABC ∽ △EAB .
∴ AC / EB = BC / AB , 即 8 / EB = 6 / 10 ,
∴ BE＝40 / 3 .
4.如图，⊙O 的半径 OA＝6，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，且 AP＝8，连接 PO 并延长，
与 ⊙O交于点 B、D，过点 B 作 BC∥OA，并与 ⊙O 交于点 C，连接 AC、CD.
(1) 求证：DC∥AP；
(2) 求 AC 的长．
例题4图
【解析】
(1) 证明：
∵ AP 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠OAP＝90°.
∵ BD 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠BCD＝90°.
∵ OA∥CB，
∴ ∠AOP＝∠DBC，
∴ ∠BDC＝∠APO.
∴ DC∥AP；
(2) 解：
∵ AO∥BC，OD＝OB，
例题4解图
∴ 如解图，延长 AO 交 DC 于点 E，则 AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝ 1/2 CD.
在 Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.
由 (1) 知，△AOP∽△CBD，
∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即 12/10 = BC/6 = DC/8 ,
∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 .
∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA DE = 6 18/5 = 48/5 ,
在 Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .
5.如图，AC 是 ⊙O 的直径，AB 是 ⊙O 的一条弦，AP 是 ⊙O 的切线．
作 BM＝AB，并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 AD.
(1) 求证：AB＝BE；
(2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AB＝6，求 AD 的长．
例题5图
【解析】
(1) 证明：
∵ AP 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠EAM＝90°，
∴ ∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.
又 ∵ AB＝BM，
∴ ∠MAB＝∠AMB，
∴ ∠BAE＝∠AEB，
∴ AB＝BE；
(2) 解：如解图，连接 BC.
