(1）学生为什么会认为是一条竖直的线
把"垂直"两个字分开来解释，"垂"就是从上往下的，"直"就是"笔直的"，连起来就是从上往下笔直的。这样，在日常语言中，与"垂直"相近的词有"竖直""笔直"，这与作为数学概念的"垂直"的意思相去甚远，但学生却不可避免地受字面意思的影响。这样一解释，学生出现如“垂直就是一条竖直的直线”的解释就不足为奇了。
(2）从与直角的联系来思考学生是如何认识垂直的
就调查的学生来看，没有一位学生能画出垂直的范图，只有10几位学生画成直角或说明与直角之间的联系。
访谈两位学生。
学生1：平平的一条线代表地面，竖直的那条线表示杆子，杆子与地面成直角时，就是说杆子是垂直的。
学生2：两条直的线连接的地方是直角，就是垂直。
从两位学生的解释中我们可以发现，他们已经有了垂直是两条直线的位置关系这一个认识，但只限于"横平竖直"这一种特殊情况。
同样地，对说“垂直是直角”的那位学生进行访谈。教师出示下面的一组直角，请他判断，下面的直角都可以表示垂直吗？
学生认为，①号与③号可以表示垂直，②号与④号不行，因为它们都是"斜的"。
通过访谈得出：学生用"直角"来表示"垂直"，只是限于"横平竖直"这一种情况。
(3）从与生活现象的比照来分析学生是如何理解垂直的对"不作答或其他"的学生进行访谈。得出：没有听到过"垂直"，只是猜测好像与"笔直""竖直"有关系，但不能确定，没有把握，所以没有写。而有一些学生则用具体的情境来描述垂直。
4．画图展示法
学生的生活经验与数学概念之间不一致的情况是极为常见的．比如小学生的思维正从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，具有很大的直观性并存在语言文字的描述逻辑性、严密性不强的特点。在教学实践中，我们发现小学生特别擅长用图画表达自己的想法。因此，为了帮助学生把隐性的科学前概念显性地表现出来，教师可以引导学生用绘图的方式把头脑中的前概念画出来。
例6、 学生不能理解"点C在圆上"
因为他们的头脑中圆是类似"月亮、烧饼"之类的平面图形．
同样，在学习两圆的位置关系时，对于两圆相离的概念，学生往往局限于认为就是两圆外离，而两圆内含这种情形被他们认为是属于"一个圆在另一个圆上",就象一个小饼搭在一块大饼上一样．
可以画一个思维导图．该图通过背景的设置，使学生头脑中圆的形象由原来的"饼"变成了"圈"．两圆的位置关系在这里被分成三类，每类中又划分出子举，使概念总体与部分的关系一目了然。
表1 初中数学中前科学概念与科学概念的部分示例
