不满足的话，则是不连续的。我们就拿这个定义来检验一下狄利克雷函数。当a无论取何值时，在a的任意一个小的邻域内，都有无数多个有理点和无数多个无理点，有理点处函数值为1，无理点处函数值为0，因此在a的左边和右边函数都是无穷震荡的，所以x趋近a是f(x)的极限不存在，也就更无法等于f(a)了，因此是不连续的。因为a是任意取的一个值，所以狄利克雷函数在任意一点都是不连续的。
我们高中时都学过，可导一定连续，连续不一定可导，并且不连续一定不可导，狄利克雷函数在任意一点都不连续，因此它在任意一点都不可导。
这里顺便提一下，狄利克雷函数处处不可导，是因为处处不连续。不连续导致不可导，这没什么大不了的，但在1872年，被誉为“近代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)构造出了一个处处连续但无处可导的函数，又进一步颠覆了人们对导数概念的理解，这是后话。
我们在高等数学中学过，一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，它的定义就是如下的极限：
右边这个极限如果存在，则称f(x)在[a,b]上是可积的，极限如果不存在则称为不可积。
事实上，想构造出一个不可积的函数非常地困难。回想一下你在高等数学里面接触过的所有有界函数，其实都是在闭区间上可积的。而不可积的函数则只能从“病态函数”里面寻找，狄利克雷函数就是其中一个最典型的例子。
