可以看出这样构造出来的函数，同样具有上述三个诡异的性质。同时我们还可以对它进行改造，构造出一些更为诡异的函数，例如只在一点处连续的函数，只在一点处可导的函数等等。
上面狄利克雷函数的表达式是利用分段函数写出的，那么它有没有单个的表达式呢？数学家们发现狄利克雷函数可以利用下面这个式子来表示
小伙伴们可以思考一下，为什么它就表示狄利克雷函数。
发展狄利克雷函数的发现在20世纪有了更为重大的意义。20世纪初，法国数学家勒贝格(Lebesgue，1875-1941)通过对传统积分理论的研究，提出了一种新的定积分理论——勒贝格积分。他发现，勒贝格积分是比传统的定积分更为进步的积分，它囊括了更多的函数形式，而狄利克雷函数就是一个最典型的在传统意义下不可积，但却是勒贝格可积的函数。用更专业的语言来讲，勒贝格积分是传统积分理论的完备化，它使得人们对函数与积分的认识更上一层楼，而勒贝格积分也取代了传统的定积分理论，成为当代数学研究里面通用的积分理论。而如果想要学习勒贝格积分，就需要进一步学习测度论，这将又是一个很漫长的过程。
最后，就拿勒贝格大神的照片来镇楼吧！相信每个学习过实变函数的人看到这张照片的人都会瑟瑟发抖。
,参考文献
[1] 《高等数学》，第七版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社
[2] 《数学分析（下册）》，第三版，华东师范大学数学系，北京，高等教育出版社
[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE
