我们来说明一下为什么狄利克雷函数不可积，就拿[0，1]这个闭区间举例子。我们做定义定积分的关键一步是要把[0，1]这个闭区间分割成若干小段，然后再让这些小段的长度趋近于0。因为有理数和无理数是密密麻麻的排列在实数轴上的，所以一个小区间无论多么的短，它里面都包含着无数多有理数和无理数。我们可以这样来取x*的值：对于任意短的小区间，
- 第一个方法：我把所有的x*都取成无理数，于是所有的f(x*)都等于0，因此
- 第二个方法：我们把所有的x*都取成有理数，于是所有的f(x*)都等于1，因此
由此可以看出，无论你你这个区间长度多么的短，都可以想方设法让求和式子等于0，同时也可以想方设法让求和式子等于1，于是这也相当于是一个无穷震荡，因此它的极限也不存在。所以我们就说明了狄利克雷函数在[0，1]闭区间上不可积。
黎曼和与定积分示意图
上面三条就是狄利函数所具有的，而你在初等函数中又无法看到的诡异的性质。狄利克雷函数可以说是最简单的一类病态函数，以它为思想我们可以构造出很多其他类型的病态函数，比如说我们可以把0和1变成任意两个不同的数：
