从质量密度 产生的弱引力场出发，可以得到方程
这样一个方程得出来，取非相对论能量密度 ，可以得到 。接着扩展到 矩阵都行，也就是 ，其中的 矩阵就是爱因斯坦张量 ，这个过程某种意义上就是猜的。但是猜不丢人，其实猜反而是我们教育、培养物理学家必须要教的功夫。当然了，猜的前提是你要有本事，也有基础。
这个方程是 1915 年 12 月底，爱因斯坦得出的这个方程；1916 年 3 月份，这篇论文正式发表。但是有一个非常诡异的事情，这个吓死人的张量方程竟然在 1916 年 1 月份被人解出来了，解决者的工作条件是什么呢？1916年，既是瘟疫又是世界第一次大战的时候。这位史瓦西（Schwarzschild）老兄是一名炮兵上尉，在战壕里随手把方程给求解出来了。大家看到这里肯定有一个问题。我每想到这里的时候，就想起在我年轻的时候也抱怨过工作条件不好这件事情，我觉得特别不好意思，你工作条件差能差到哪儿去？
1916 年，冬天，瘟疫，战争，冰天雪地的战壕里，人家能把这个方程解出来。为什么他能解出来呢？因为他入伍前是哥廷根大学的数学教授，也是哥廷根天文台的台长。
引力场方程在 1915 年底，1916 年初还是上面这个样子。1917 年爱因斯坦说这个方程的解不是稳态的解，要加一项 ，就是后来宇宙学和天文学里说的宇宙常数项这样一个问题。当然加这一项显得有点随便，但是后来如果学到数学中 Beltrami 不变理论（Beltrami invariant theory）的时候，就知道爱因斯坦还是做得很多的，这个以后再说。
德国哥廷根有一位叫希尔伯特（Hilbert）的教授，哥廷根大学数学系大神。爱因斯坦从 1907 年想到要扩展相对论，干到 1915 年底好像才依稀看到曙光。在 1915 年 12 月 20 日，希尔伯特从作用量出发，用经典力学中的变分法的欧拉-拉格朗日方程就得出了引力的场方程。爱因斯坦废了八年的劲，却还是比人家晚了 5 天，你们能想象爱因斯坦什么心情吗？你干了 8 年，人家随手画画比你早几天，而且用明信片告诉给你了。你能想象爱因斯坦这么伟大的人物也会骂人么？我们很难想象，但是可以理解。
但是希尔伯特实在是个大神，“这有什么好骂的呢”“所有优先权给你不就好了”“多大点事”。所以这件事情让爱因斯坦特别不好意思，爱因斯坦又给希尔伯特回了一个明信片，说像我们俩这么伟大的心灵，为这么点小事，太不好意思了。希尔伯特为什么这么厉害？当然这个时候我们不说这些轶事，我们说一下爱因斯坦一个特别严肃的抱怨——困难不在于找到这样一个方程，困难是要认识到这个地方，这个方程是牛顿引力的推广，是要做物理。爱因斯坦这个说法对不对呢？也对，但是我个人总觉得好像面对这样一个大神，有一种你的累死累活不过就是别人的轻描淡写。
希尔伯特当然太厉害了，在物理上还有一个希尔伯特空间的概念，但是希尔伯特空间不是希尔伯特提出来的，是冯·诺依曼提出来的。据说 1930 年做量子力学报告的时候，冯·诺依曼说量子力学应该用算符本征函数张开的空间，这个空间是希尔伯特空间。希尔伯特坐在底下说希尔伯特空间？我怎么没听说过，所以你看人家大神有多厉害。
他说了一个对我们物理学家伤害很大的话，就是“物理对物理学家来说太难了”，就是你们物理学家能做什么物理啊。这句话对不对呢？反正我看他这句话我是很服气的。
我们再看一下意大利的 Beltrami，他发展了 Beltrami 不变量理论。从这个不变量出发，你会发现关于四维空间里弯曲描述动力学方程只能有这三项
后来爱因斯坦也亲口说，这个方程左边是象牙做的，因为根据微分几何学就必须长这样子。右边是木头的，关于物质的能量、张量、动量，是物理的，保持能量守恒的张量形式差不多到 1965 年才得到，那时候爱因斯坦已经去世了。关于这个不变量理论，从这个角度推导引力场方程也是很容易的，我再强调一下我写这一段的感慨：你的累死累活，不过就是别人的轻描淡写。很伤感，但是我们要是没有能力轻描淡写，还是得累死累活，没办法。
不管怎么样，关于相对论的思想其实很多人都做出了伟大的贡献，一些必要的代数知识和几何知识你也要拥有，这样才能学会相对论，否则你只能读一些电影里所描述的相对论了。
这里接下来我们必须要提到一个人——克里福德（Clifford）。克里福德代数是近代物理学的基础。他曾经说过这么一段话
引力引起空间弯曲，物质可能只是弯曲空间上的涟漪。
这句话被今天的宇宙学和天文学不断重复着。有人能说出这么文艺的话，我们能够想象这个天才一定是相当文艺，因为他是哲学家、数学家、物理学家，他还是一个儿童文学作家，但可惜只活到了 34 岁。
如果我们要谈到关于电动力学、狭义相对论的基础，关于量子力学的基础，关于非欧几何的基础，关于广义相对论的数学基础，我们必须要提到的人是黎曼。黎曼（1826—1866）活了不过四十岁，从他 25 岁做数学算起，到他去世，不过 15 年的时间。有一种说法，黎曼 15 年的数学贡献了 19 世纪数学的一半。这里我必须提醒一句，黎曼到 19 岁的时候是个文科生。他是哥廷根大学的文科生，但是哥廷根大学理科比较厉害，他们有个很著名的老师就是高斯。高斯有一天在学院里遇到黎曼，说你去学数学，然后就把黎曼送到了德国的柏林大学，送给他的朋友上了三年本科，招回哥廷根大学跟着他读博士，所以说黎曼是在高斯那儿获得的博士学位。我再提醒大家一句，他的论文《作为几何基础的几个假设》，是众多数学的基础，也是非欧几何的基础，也是量子力学最基本思想的基础，是他想获得讲师资格的申请求职的论文。
广义相对论：引力的几何理论我们有了广义相对论了，有了场方程
场方程里面的东西怎么运动呢？就是自由落体的运动方程，就是测地线方程
这两个方程可能有特别文学的解释，说这个方程告诉我物质怎么让空间弯曲，这个方程告诉我弯曲空间中物质怎么下落，怎么做运动。但是你理解歪了，因为一个弯曲几何里面运动的东西本身一定是个整体的，应该由一个方程描述，怎么会分成两个不同的方程？爱因斯坦本人就知道，这两个方程应该是一体的，而不应该是两个方程，他也试图努力得到一个一体的方程，但最终也是没得到，爱因斯坦本人觉得这个事情非常令人绝望。
令人绝望的过程中爱因斯坦又考虑了一个问题，这个问题就是我们经典力学里面非常著名的水桶实验，大家回去拿一个大杯子或者拿一个塑料桶吊起来，盛半满的水就知道了。水一开始是平的，把它转起来以后，水面是凹的，你把水桶抱住，水桶不转的时候，水面还转，还是凹的。这是牛顿一开始注意到的问题，请问水面凹是什么原因造成的？你说是水面运动造成的，可是水面相对谁的运动？相对于水桶？你发现水桶运动的时候它是凹的，你把水桶抱住不让动的时候还是凹的，所以牛顿就困惑了，不知道怎么回事了。
后来一个叫马赫的人，说如果那个水桶足够厚实的话，你可能就会对这个问题有正确的理解了，爱因斯坦也注意到了这个问题，说明什么？说明两个有质量的物体不仅仅是有万有引力的吸引，还有拖曳效应，而拖曳效应是发空间站和长途空间旅行要考虑的问题。
广义相对论有什么威力呢？据说有三大成就，引力红移、光线弯曲，解释了水星轨道的进动问题。其实不对，前两者是在广义相对论场方程之前爱因斯就有计算，有内容的，水星轨道进动才是场方程以后的有效计算。关于大质量体，比如说太阳周围时空是弯曲的，光线怎么走的问题，如果你说太阳这样大质量体周围时空是弯曲的，你就不能说光线是弯曲的，光线永远走直线。或者什么叫直线？光走的线才是直线，这两个概念你不能两套都用。如果空间是平直的你看到的弯曲是弯曲，如果你认定时空弯曲，并且光线走的是弯曲时空的测地线，你就用这套语言，时空是弯曲的，光线永远走直线，我们学物理的不能把这两套语言混着说。
1919年传说有人拍照，说明恒星弯曲，从而证明了爱因斯坦广义相对论怎么正确。恕我直言，我实在想象不到1919年的照相技术，而且是那么不清楚的照片，怎么可能判断出这样的弯曲正确不正确，这是不可能的事情。这个事情社会上一直有质疑，一直到1975年英国皇家学会没办法了，不得不重新把数据拿出来，说重新检查一下，来回应社会的疑问，给的结论是非常外交的言词，说原来对数据的处理你别当真了，别追究了，所以大家提及广义相对论的时候别再提1919年胶版照相的事了，证明不了啥。
回到运动这个问题，弯曲时空里面自由落体的轨迹是测地线，是一条直线。在这上面如果有某一个东西或者某一个分布沿着这样一个线，是怎么平行移动？这个概念会是后来的微分几何里面的关键概念，又是刚才那一个意大利人给发展起来的。怎么找这个感觉呢？有一天我想起来可以让大家找一个弯曲时空如何平行移动的感觉。
