将各项的矩阵相加，进一步得到
我们发现上述等式右边的2×2矩阵，正好与正弦、余弦的泰勒公式对应：
这样，我们就推导出
令，则得
也即
这个式子与欧拉恒等式
完全对称：
- 为单位矩阵，与实数或复数域的对应；
- 矩阵与虚数单位对应。由于，我们发现，也即；
如果记为，则（矩阵的平方为负单位矩阵！！！），矩阵为虚单位矩阵。则我们得到非常优雅的矩阵域的欧拉恒等式：
此外，与也有类似的性质：
同样的，借鉴，我们可以将前面推导出来的结论：
修改为矩阵领域的欧拉公式：
因为：
,
这里，我们不得不惊叹于数学的完美！！！
用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式，结果正确：
我们在试着求一下的值：
极氪001
再来验算一下时，用泰勒公式计算的值：
