指数函数，是指如
形式的函数，x是自变量，a是一个正数，叫做该指数函数的底。如果a的值等于e=2.718..., 则称其为自然指数函数（natrual exponential function）。
当x是一个正整数n的时候，指数函数不难理解，即表示n个a相乘。比如
表示5个a相乘。我们知道，对于指数函数，有一个性质，即
这样，我们有
所以，。因此，也就是说，当x是个负整数-n时，
至此，我们对于所有的整数x，指数函数都有了定义。那么如果x是有理数呢？我们也可以定义出来，根据指数函数的另一个性质
,
我们有
目前为止，我们已经可以对于任意的有理数来定义指数函数了。其实，这在实际应用中似乎已经足够了，因为有理数已经可以任无限接近的表示任意实数了。
但在理论上，还不太满意，如果x是一个无理数呢？比如怎么理解？当然，我们可以找一个非常接近的有理数来计算出一个很好的近似值。可其准确值怎么定义呢？
我们可以用极限来定义：
因为存在一个趋于的有理数列。但这样的定义对于计算来说并没有提供额外的好处，我们可以换一种定义方式，即利用无穷级数来定义。下面仅例举当a=e的情况（这种情况下的无穷级数比较简单）：
注意，这个式子左边是自然指数函数，右边是一个无穷级数，这里x可以取任意实数（右边这个级数对于任意x都是收敛的）。这样，我们就对指数函数的任意的x都有了定义，并且可以计算（假设我们能一直往下算的话...）。这里，算的项数越多，得到的的值也就越精确。
指数函数和对数函数互为反函数。在图像上表现为关于y=x对称，所以只要其中一个定义妥了，另一个也就妥了。
我们再补充说一说，其实也可以从对数函数出发，来先定义的值。我们也以a=e为例，定义
通过这样一个积分上限为x，被积函数是1/t的定积分，来定义ln函数，这样x的取值就可以是任意正实数了。
