题记
自然科学只有数学的形式才称得上是科学。
——康德（Kant，1724-1804）
开场小故事
宋代杨辉所著《田亩比类乘除捷法》书中有这样一道题：直田积864步，只云阔不及长12步。问阔及长各几步？答：阔24步，长36步。
这题古算解法有四种：带从开方法、益积开方法、减从开方法和四因积步法。前三种方法比较繁琐，就不介绍了，说说第四种四因积步法。
此图由《周髀算经》中的弦图变通而来。
如图，先求长方形面积的4倍，得864×4=3456，再看图中的小正方形，它的边长恰好是长方形的长减宽的差，它的面积当然就是差的平方。得12*12=144，大正方形的面积就是3456 144=3600，开方得大正方形的边长为60，也就是说长方形的长加宽是60，于是问题转化为小学数学的和差问题。用和差法得出：长=36，宽=24
这个方法的代数原理是：（a－b）²＋4ab=a²-2ab b² 4ab=a² 2ab b²=（a b)²
女儿在做奥数作业时遇到一道题不会，问我怎么做？题目如下：甲数比乙数大9，两数的积是792，求这两个数分别是多少？
这不就是改编的那道古算名题吗？于是我就在草稿纸上画图，用四因积步法解题：
792×4=3168，加上九九八十一就等于3249，开方用手机计算器，手机竖屏是标准型，横屏则是科学型，立马算出平方根是57，于是这两个数就是33和24
画外音：唐代僧一行（出家前原名张遂）在历法计算中，曾经解了一个一元二次方程，如果这个方程是x² px=q，p>0,q>0,那么一行求得的正根是 ，画外音结束。
把作业对付完了，我的思绪却飘向远方，好像有什么不对。
第三级数学运算
杨辉的那道题目有鲜明的特色，数字都设计得非常巧妙，计算过程因为数字凑得整齐而毫不费力，在辛苦的解题过程之后，给人赏心悦目的感受。这也是中国古算的一大特色吧。杨辉的题目巧妙地回避了开方的难点，但对奥数题目而言，就没有回避开方的退路，必须正面解决这个如何开方的问题。（不要误解，我绝不会说杨辉不会开方，开方对宋代数学家来说犹如探囊取物，易如反掌。）
数学运算共有七种，可分为3个等级。第一级运算有两种，加法和减法，互为逆运算；第二级运算也有两种，乘法和除法，互为逆运算；第三级运算有三种，乘方、开方和对数。乘方是第五种运算，它有两种逆运算，即开方和对数。重点谈谈第六种运算：开方。本文只讲开平方。
公元前300年古希腊的《几何原本》就有乘法公式（a b）²，古希腊人知道平方数之外，2、3、5……17的平方根是无理数，这甚至还引发了第一次数学危机。
巴比伦人使用60进位制，把一天分为24小时，一小时有60分，一分有60秒，与现代的时间单位一致。巴比伦人知道除法公式，掌握了勾股定理，计算 的值精确到小数点后第5位。有有理数平方根表，无理数平方根的计算方法后面我会详细介绍。巴比伦人使用近似计算公式
巴比伦60进位制的符号
巴比伦的平方表和立方表
9世纪，印度人就能解二次方程，知道一个数的平方根有两个值，还知道负数的平方根不可能是实数。
米歇尔·斯蒂弗尔（1487-1567年）写出了直到开七次方的数值求根法。
我国古代是用筹算来进行整数和分数的四则运算和开方。我国至少在公元前三四百年就有九九口诀（九九乘法表）。古*载有筹算开平方的有《九章算术》（东汉初年）、《张丘建算经》、《孙子算经》（晋朝，四世纪末）、《夏侯阳算经》（南北朝夏侯阳的原著失传，现在的版本是八世纪唐朝韩延编辑的实用算书）。
《九章算术》有一道例题：求55225的平方根。对筹算的开方算法，刘徽画了个几何图形来说明，就非常方便理解。
