虚数也有相似的命运，从其名字就可以看出似乎受到过很不公正的待遇。一元二次方程x 2 =1有两个解，x=1和x=-1。那对于方程x 2 =-1呢？在解之前，我们不妨先假设x 的解存在，就像负数一样，奇怪的概念往往其实有其自身的价值。
对于方程x2 =-1，其实可以写成1·x·x =-1。我们将 “乘以x ” 看成是一种“变换”，通过两次这种变换，我们最终将1变为-1。但我们不能通过和两个正数的相乘抑或是和两个负数的相乘来实现1到-1的转变，以前也说过，“变换”并不改变问题本身，而只是改变了看待问题的角度，感兴趣的可见：《六一礼物：给孩子解释什么是傅里叶变换》。
但是如果这种“变换”是“旋转”呢？听起来很新颖，但是我们把x 定义为“逆时针旋转90°角”的话，在包含两个正交轴的坐标系上，就能够实现1到-1的转变。
而这个坐标系构成的平面也称为“复平面（横轴为实数轴(Real Dimension)，纵轴为虚数轴(Imaginary Dimension)）”，并用字母i 作为该情况下x 的解，用来特指“逆时针旋转90°角”的变换。
(图片来源: betterexplained)
那如果想顺时针旋转90°呢？
答案是：乘以-i 就行了。
(图片来源: betterexplained)
而且如果乘以两次-i，和乘以两次i 一样，得到的也是-1。
如果分别乘以0次、1次、2次、3次、4次、5次i，可以得到：
可以得到以下结论：
1=1（毫无疑问）
i =i （感觉是句废话）
i 2=-1（上面已经说明了原因）
i 3=(i·i )·i=-1·i=-i（三次逆时针旋转90°，相当于顺时针旋转90°）
i 4=(i·i )·(i·i )=-1·-1=1（四次逆时针旋转90°，回到初始位置，循环结束）
i 5= i 4·i=i（开始下一循环，逆时针旋转90°）
