镶嵌在圆锥里的球，阿基米德墓的标志。
又如，命题14说的是，正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积。实际上，这就等于圆周率、半径和母线三者的乘积。但在古希腊，由于毕达哥拉斯学派发现了
的无理性，引发了第一次数学危机，线段的长度是否存在成了问题。
虽说二个世纪以后，欧多克斯（Eudoxus）通过引进不可通约概念，将这一危机化解。不过，数学家仍避免线段的长度概念，这就是为何阿基米德选择用矩形的面积来表达。从阿基米德公理出发，他用穷竭法（method of exhaustion）严格地证明了欧几里得《几何原本》中的一条定理：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。
所谓穷竭法是公元前5世纪的雅典演说家、政治家安提芬（Antiphon） 创立的，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。稍后，欧多克斯加以改进，将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。
希腊邮票上的阿基米德。
阿基米德进一步完善了穷竭法，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。例如，他通过把[0,1]区间n等分，累加矩形条面积，算出了
和x轴在该区间上曲边三角形的面积。遗憾的是，用穷竭法计算不同的曲边形面积时，需要采用不同的直边形去逼近，计算过程采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法推广到一般的曲边梯形。
《圆的测量》是一本内容较薄的著作，只有三个命题，均是有关圆的面积和圆周率的，却同样不可小觑。虽说欧几里得在《几何原本》里讨论了许多圆的性质，却压根没提圆周率的值和圆面积、圆周长的计算公式。
阿基米德弥补了这一不足，其中命题1是这样叙述的：圆的面积等于一个以其周长和半径作两个直角边的直角三角形的面积。简单的说就是：圆的面积等于半径乘半周长。这与中国数学古籍《九章算术》里的说法“半周长半径相乘得积步”，或者公元263年刘徽注释的说法“半周乘半径为圆幂”，是等价的。
命题3给出了圆的周长与直径之（0圆周率）的上下界，即：
