阿基米德用他的穷竭法，分别计算出了内接和外切正96边形的周长。这也是科学史上首次用上、下界来确定一个量的近似值，同时提供了误差估计。值得一提的是，不等式左右两端都是连分数的渐近形式，换句话说，在不超过7或71的所有分数中，它们是最接近于圆周率值的。阿基米德得到的圆周率是3.14，精确到小数点后两位，这是公元前人类所得到了最精确的结果。在此之前，最好的结果是古埃及人的3.1，而古巴比伦人和后来的《九章算术》给出的结果都是3.0。
在《论锥形体和球形体》中，阿基米德研究了椭圆的面积以及旋转体的体积，进一步深化了穷竭法，十分接近今天的积分法思想。而在《论螺线》一书中，他研究了螺线与出发点的垂线围成的曲线面积，以及螺线的切线，后者用到的微分学的思想。
所谓螺线，是指沿绕一定点匀速旋转的直线作匀速运动的点的轨迹，用牛顿发明的极坐标表示就是r=aθ。如同20世纪的美国数学史家E·T·贝尔所言，他（阿基米德）比牛顿和莱布尼兹领先两千多年发明了积分学，在他的一个问题（指螺线）中，领先他们发明了微分学。难怪1世纪的罗马博物学家、《自然史》作者普林尼要赞颂阿基米德是“数学之神”。
阿基米德也留传下一部算术著作《沙粒的计算》，这唯一的一部算术著作也可能是他的最后一部著作。这是他为外行人写的一些“机智的妙语”，充满了想象力，他把书献给希罗王的儿子格伦，堪称世界上最早的科普著作。
意大利邮票上的阿基米德。
全书只有一个定理，即相当于现今的指数乘法法则。阿基米德先给出了地球、月亮和太阳的大小估计，进而计算出沙粒的数目。不过，如同他事先所说的，这只是一种假设，这些数字与实际出入较大。阿基米德以万为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他算出充满太阳系的沙粒为10颗，即使是扩充到整个宇宙，也只能容纳51 1063颗。
最后，我们谈谈阿基米德的数学著作对后世的影响。虽然他的工作很有独创性，比如计算球的表面积和体积公式，用22/7作为圆周率的近似值，但在古代的影响十分有限。他的工作也没有被继承和发扬，没有人试图推广他的旋转体体积公式，即使在8世纪和9世纪他的著作被译成阿拉伯文之后。
随着文艺复兴的到来，包括布鲁内莱斯基（佛罗伦萨大教堂的设计者）和达芬奇这样的巨匠都对阿基米德入迷，前者还有“阿基米德第二”的雅号，但他们看的都是手抄本。1544年，阿基米德的7部希腊文著作在巴塞尔首次印刷，附有拉丁文译文，它们在当时第一流的数学家和物理学家，包括开普勒和伽利略的著作中有所反映。对17世纪的笛卡尔和费尔马，更是产生了巨大的影响。不幸的是，他的《方法论》直到20世纪初才被发现。
05 羊皮书稿
1906年，丹麦文献学家海伯格（Heiberg，1854-1928）在君士坦丁堡发现了阿基米德寄给厄拉托色尼的那篇论著《论力学定理和方法》（以下简称《方法论》的羊皮书），此前它被认为已经遗失了，且连阿拉伯文版和拉丁文版也不存在。两年以后，海伯格再次去君士坦丁堡，经过不懈的努力，终于使185页的文字重见天日（除去少数完全看不清）。
在这篇论文中，阿基米德解释了他怎样通过在想象中比较一个已知面积或体积的图形和立体，以及一个未知的图形和立体，从中得到了他要寻求的事实；而一旦知道了事实，那么在数学上证明它就比较容易了。这有点像如今的数论学家，利用想象力和计算机寻找数的规律，再设法证明它；不同的是，这种证明通常很不容易。
在《方法论》中，阿基米德阐明了平衡法。穷竭法主要用来证明结论，却不易发现新的结果。阿基米德用平衡法计算物体的面积或体积，也是依据德谟克利特的原子论思想，先把面积或体积分成许多窄的平行条或薄的平行层。进而阿基米德假设把这些薄片挂在杠杆的一端，使它们平衡于容积和重心都已知的一个图形，而且已知图形的面（体）积一般都是容易求得的。
例如，求球体积时，他把同一个球、圆柱和圆锥放在一起，把球和圆锥的薄片挂在杠杆的一侧，而让圆柱的薄片挂在另一头，利用力矩和杠杆原理，以及圆柱和圆锥的体积公式，推导出了球体积公式。
看得出来，除了微积分或无穷数学的思想，阿基米德研究数学的第二个武器是力学和物理学。我们再举两个例子，一个是重心。牛顿力学里，假设每个星球都是单个的点，这样的点叫重心。圆的重心便是圆心，正方形或平行四边形的重心是对角线的交点。而对于三角形，阿基米德证明了，重心就在任意一条中线距离边长的的三分之一处。这个结论是《论平面平衡》的命题1。再来看抛物线，这似乎是数学家发明的游戏工具。然而，现代科学却表明，围绕着原子核的电子、发射到太空的火箭、投石机弹出的石子，它们的运动轨迹均为圆锥曲线。
下面我们来讲述阿基米德羊皮书的历史。羊皮书是由羊皮纸（perchment）做成的，得名于它的诞生地，就是前面提到的帕加马王国（Pargamon）。当年那儿建立了大图书馆和大学，成为希腊散文和修辞的中心，并试图与亚历山大竞争文化学术中心地位。
托勒密王朝为了阻碍这一竞争，严禁向帕加马输出纸莎草纸，于是帕加马人在公元前2世纪发明了羊皮纸。羊皮纸由小羊皮或小牛皮制作，经石灰处理，剪去羊毛，再用浮石软化。这样的纸两面光滑，书写方便，尤其适合鹅毛笔，摺成书本也没问题。比纸莎草纸更适用，但价格昂贵。从公元前2世纪起，羊皮纸与纸莎草纸同时被使用。公元3到13世纪，欧洲各国普遍使用羊皮纸书写文件。14世纪起，逐渐被中国的纸取代。
公元330年，第一个基督教皇帝君士坦丁大帝在博斯布鲁斯海峡建造了一座城市，那便是东罗马帝国的首都君士坦丁堡。他下令抄写50本《圣经》，稍后批准了一项保护古典文献的计划，于是抄录员成了一份可靠的职业。3个世纪以后，圣索菲亚教堂落成，这座宏伟壮丽的建筑物被认为是图形和数字的呈现，是两位小亚细亚建筑师安提缪斯（Anthemius）和伊西多尔（Isidore）设计的。
此两人是阿基米德的崇拜者兼论著编辑，同时代的数学家欧多修斯（Eutocius）加以注释使之更为著名。可以想象，那时的君士坦丁堡拥有各种阿基米德著作。其中9世纪的一位牧首（教皇）佛提乌斯（Photius）通晓希腊古典文献，他收集编辑出版了自己读过的所有著作，冠名以丛书，并发明了书评。他还派遣学生西里尔兄弟去斯拉夫人中间传教，导致他们发明了西里尔字母，至今仍为俄罗斯、乌克兰、白俄罗斯和巴尔干半岛等十多个国家的语言使用。
君士坦丁堡牧首佛提乌斯是一位爱书人。
9世纪中叶，抄写的方式从大写字母改为草书小写，这样一来速度加快，且每页文字内容增多。9世纪下半叶，叙利亚数学家、天文学家塔比特（Thabit ibn Qurra）在巴格达的智慧宫里，将阿基米德的著作从希腊文翻译成阿拉伯文。在12世纪时，又被意大利人吉拉尔德（Gerard）在托莱多译成拉丁文。那以后，君士坦丁堡在1204年经历了一场空前的灾难，东征的基督教十字军洗劫了这座欧洲最富有的城市。
阿基米德的著作只留下三个羊皮书抄本，分别称为A、B、C。三个抄本都包含《论平面平衡》，A和B都包含《抛物线求积》，A和C都包含《球体和圆柱体》、《圆的测量》和《论螺线》，B和C都包含《论浮体》；A是《锥形体和椭球体》、《沙粒的计数》的唯一抄本，C是《方法论》和《十四巧板》的唯一抄本。当然，还有著作不在任何抄本之列，有的已经遗失，有的如几何题集《引理集》，因有阿拉伯文版流传下来。
阿基米德羊皮书《十四巧板》封面插图。
如今，A和B已经不复存在，只有它们的复本和译本留下来，但它们已经完成了自己的使命，把阿基米德的论著和思想传递到了近代。如此说来，海伯格当年发现的抄本C不仅是含有《方法论》和《十四巧板》（此书表明阿基米德已经掌握了组合学）以及希腊文《论浮体》的孤本，也是幸存下来的最古老的阿基米德论著的希腊文手稿。
这部羊皮书上阿基米德的著作抄于10世纪，后来被人擦掉，大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献在一座修道院保存下来。旧的字迹隐约可见，海伯格惊喜地发现，那是阿基米德的著作。他的著作虽然不像《几何原本》那样浑然一体，但也所言有据、论证严密。
20世纪20年代，一位曾在希腊服役的法国人斯里克斯在游历土耳其时得到这本羊皮书，把它带回了巴黎。1947年，他搬到法国南方，把公寓连同羊皮书送给了女儿安妮。最晚在1970年，安妮知道这本书的价值，于是准备私下出售。但是，直到1998年10月29日，纽约克里斯蒂拍卖行的锤音落下，这部羊皮书才以两百万美元被一位不愿透露姓名的美国富翁买下，如今收藏在巴尔的摩华尔特艺术博物馆。
经过考古学团队（含科学史、数学史、艺术史、古籍手稿、化学、数码成像和X射线成像等方面专家）多年的合作研究，这部遗著终于与大家见面了。阿基米德在书中证明了，抛物线形（被一条与准线平行的直线所截的图像）与其内接三角形的面积之比为4比3（如图）。这一点再次证明了毕达哥拉斯学派揭示的整数比例关系无所不在，在《方法论》中，几乎每个命题都如此神奇。
06 英雄挽歌
公元前212年，中国的皇帝秦始皇下令在咸阳焚书坑儒，460多名儒生惨遭*害。那一年，叙拉古的阿基米德也走到了生命的尽头。
原来，出于商业、交通和殖民利益等的冲突，从公元前264年到前146年，迦太基与罗马帝国之间发生了三场战争，史称布匿战争，因为罗马人称迦太基人为腓尼（Peoni），转为布匿（Punic）。
其中尤以第二次布匿战争最为惨烈，那是在公元前218年到前201年间，犹如20世纪的第二次世界大战。迦太基人一度占据了上风，尤其在青年统帅汉尼拔的领导下，在海上完全取得了控制权，他率领的军队从陆地越过比利牛斯山和阿尔卑斯山，进入到亚平宁的腹地，最后因罗马人突袭迦太基本土，回军驰援而功亏一篑。
