其中 ε_t 是残差序列；a_1，……，a_p 为回归系数。该时间序列的特征方程（characteristic equation）为：
如果 m = 1 是该特征方程的一个解，则称该时间序列存在单位根。
3.2 单整阶数
单整阶数（order of integration）是和单位根密切相关的一个概念。在时间序列特征方程的解中，如果 m = 1 是一个单重根（即在特征方程的所有解中，m = 1 这个解仅出现一次），那么该时间序列是一阶单整的（integrated of order one，记为 I(1)）；如果 m = 1 是一个多重根（重数为 d），则该时间序列是 d 阶单整的（记为 I(d)）。
单整阶数在实际中的含义是什么呢？对于一个非平稳的时间序列，我们总可以捅过差分把它变成平稳的；差分的次数就是单整阶数。如果一个时间序列经过一次差分就变成平稳的，那么它就是一阶单整的；如果一个时间序列需要通过 d 次差分才能变成平稳的，那么它就是 d 阶单整的。
对于我们熟悉的股票价格序列，它的一阶差分为股票的收益率；由于收益率满足平稳性，因此股票价格序列是一阶单整的。
3.3 ADF 检验
从上面的介绍可知，要想判断一个时间序列是否满足平稳性，核心就是看它有没有单位根。为此，可以采用 ADF 检验（全称为 Augmented Dickey-Fuller test）。将 {y_t} 的自回归函数转化为 y_t 增量 Δy_t 的形式：
在上式中，如果时间序列 {y_t} 存在单位根，则 λ = 0。ADF 检验的原假设是 λ = 0、备择假设是 λ < 0。
ADF 检验
原假设为 {y_t} 存在单位根，即 λ = 0。该检验的统计量是λ和它自身标准误差之比，λ/SE(λ)。如果 {y_t} 满足平稳性，则 λ/SE(λ) 显著为负。因此只有当这个统计量小于给定显著性水平的阈值（阈值是负数）时，我们才能在对应的置信水平下拒绝原假设、接受备择假设，备择假设为 {y_t} 不存在单位根、即满足平稳性。
对于回归分析得到的残差序列，通过 ADF 检验考察其是否存在单位根。如果能够在给定的显著性水平下拒绝原假设，则可以认为残差序列满足平稳性，从而推断出回归分析得到的相关性可信、没有发生伪回归。
4 协整 —— 处理非平稳时间序列的利器在量化投资领域，收益率序列满足平稳性，而价格序列不满足平稳性。收益率满足平稳性仅仅说明价格呈现随机游走，它对于构建赚钱的投资策略几乎没有什么用。我们想要的是价格序列呈现出平稳性。
不幸的是，现实中投资品价格基本上都呈现（几何）布朗运动（见《布朗运动、伊藤引理、BS 公式》系列文章）。这意味着投资品的价格均不满足平稳性的要求，因此如果我们想用其他数据 —— 比如宏观经济数据 —— 来预测投资品价格（比如上证指数）的走势就没什么意义，因为会发生伪回归。
好消息是，这里有一个例外：虽然单一投资品的价格不满足平稳性，但有时我们可以把多个投资品（通常是两个）线性组合在一起构成一个价差序列，而这个价差序列满足平稳性。
在数学上，如果多个非平稳的时间序列通过线性组合得到一个平稳的时间序列，则把满足这种关系称为协整（co-integration）。为什么会发生协整的？考虑两个投资品的价格序列为 {X_1t} 和 {X_2t}，它们的走势可以表述为：
其中 ε_1i 和 ε_2i，i = 1，……，t 为构成 X_1t 和 X_2t 的随机过程。假设这两个价格序列的一个线性组合为：
