德国数学家希尔伯特（Hilbert），20实际数学发展的指明灯
相信这句话读起来令人费解，我来通俗的解释一下。数学里面有很多不同的概念或研究对象，而其中某几个研究对象它们具有相同的特征。数学家们就把这些相同的特征一条条都提取出来，把他们重新定义为一个新的、独立的研究对象，然后就专门来研究这个新的对象，这一条条的特征就称为这个对象所满足的公理。
本文所讲的绝对值，就是一个非常典型的例子。通过上文的回顾我们发现，数的绝对值，向量的模长，复数的模长，本来是三个不同的研究对象，但是他们之间具有相同的特征，即下述三条
这一点我们上面已经反复强调过了。
那么我们就假设有一个东西，它满足上面三条性质，那么我们就可以把这个东西定义为一个新的研究对象。而数学家们还真的就这么干了，他们管这个新的研究对象叫“范数”(norm)，因为这个东西的思想起源于绝对值，但同时又比绝对值高级，所以数学家们又发明了一个新的符号来表示范数：||a||
我们来看一下范数的具体定义：首先有一个线性空间，简单的理解，线性空间就是一个集合，并且里面的元素可以做加减法运算和数乘运算。比如所有的实数组成的集合，所有的向量组成的集合，都是线性空间。
对于线性空间中的每一个元素x，我们都让它对应一个数，记为||x||，于是集合中的每一个元素都对应一个数。如果每个元素对应的数满足如下三条性质：
我们就把这个数称为x的范数，这个集合就称为赋范线性空间。字面意思就是就是赋予了范数的线性空间。
因此对于一个线性空间，只要我们能找到上面每个元素对应的数，让它满足这三条性质，那么它就可以称之为一个范数。可以看出，上文讲到的数绝对值，向量模长，复数模长，都是满足这三条性质的，所以它们都是某种特殊的范数。
同样，并不是只有上面三个才能成为范数。可以很多其它的东西也满足上面三个条件。因此对于其它的数学对象，我们也可以有范数。甚至于，对于同一种数学对象，我们可以有好几套不同的范数，下面我们就来举几个例子。
5就拿我们熟悉的二维向量举例子，我们已经知道，向量的模长构成一种范数。我们来寻找另外一套范数，比如我可以让每一个向量对应这样一个数：
