图1，阿基米德关于圆面积和定义三角形面积对应关系
*下文提到的定义三角形即为上图中的直角三角形。
(二).阿基米德所处时代背景：
- 古希腊人并没有代数学，也没有实数的感念，也不存在π，所以圆的面积只能用与其面积相同的三角形的面积来表示。
- 欧几里得的《几何原本》已经为几何证明做好了铺垫。《几何原本》开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
- 阿基米德的算法是在古希腊通用的笨拙的系统中完成的，其中分数源自古埃及奇怪的表示和处理方法：
古埃及分数表示及计算方法
4.当时的几何家已知，不论圆的大小如何，圆的周长与直径的比为常数（显然这个常数就是后来的 π）。
k1=C/d
5.《几何原本》已经证明了圆的面积正比于半径的平方。即存在常数k，使得对任意圆都有：
k2=S圆/r2
但他们都没有发现k与π的关系。
（三）阿基米德证明用到的断言（容易证明或不证自明，部分出自《几何原本》，部分为阿基米德的杰出创新）
断言一：任意圆内接正多边形的面积小于圆的面积。
圆的内接正多边形
设 δn=S圆- Sn>0
Sn为圆内接正n边形的面积，δn为圆与其内接正多边形面积之差，即图中阴影部分的面积。
断言二：δ2n<δn/2
割之弥细，所失弥少
如上图，以圆内接正四边形为例，蓝色部分的面积小于阴影部分的面积，推广到整个图形，对于所有的圆内接正多边形都有δ2n<δn/2。
断言三：任意圆内接正多边形的面积小于前面定义的三角形面积，即Sn<S△。
