如上图，证明基于以下两个事实。
OA<OB， P(A)Q<弧PBQ
断言四：给定一个已知圆，做圆的内接正多边形，正多边形的边数越多，正多变形的面积更接近圆的面积。如正八边形的面积比正方形更接近圆的面积，正十六边形又比正八边形更接近圆的面积，这一过程可以无限继续，则正多边形的面积无限逼近圆的面积。(跟我国魏晋期间刘徽的割圆术类似，都用到了穷竭法)
显然，圆内接正多边形的面积永远小于圆的面积。但是，如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能做出一个内接正多边形，而使圆面积与其内接正多边形的面积之差小于这一预先给定的面积。（是不是有熟悉的感觉，这恰是高等数学中极限的定义，这也是阿基米德证明圆的面积的关键。）
断言五：任意圆外切正多边形的面积大于圆的面积。
圆外切正多边形
设 δN=SN-S圆>0
SN为圆外切正N边形的面积，δN为圆外切正N边形面积与圆面积之差，即图中阴影部分的面积。
参考断言二易知 δ2N<δN/2
断言六：定义三角形的面积小于圆外切正N边形的面积。（参考断言三）
断言七：圆外切正多边形的面积永远大于圆的面积。但是，如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能做出一个外切正多边形，而使圆面积与其外切正多边形的面积之差小于这一预先给定的面积。
（四）.阿基米德采用的逻辑方法——双重归谬法（反证法）
在阿基米德之前，人们往往采用直接证明的方法，而阿基米德则采用间接方法。
比如我们要证明A=B，当直接证明比较困难的时候，可以采用排除法。A与B的关系只有3种情况，A>B，A<B，A=B。如果能排除前两种情况，自然得到A=B。
阿基米德采的方法：排除S圆>S△和S圆<S△两种情况，得S圆=S△。
（五）.阿基米德的证明
求证：任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等，即S圆=S△。
第一步，证圆的面积不大于定义三角形。
证明：
假设 S圆>S△
令 ε'=S圆-S△>0 (预先给定的面积)
根据断言四
当取充分大的n，使得 δn<ε （δn见断言一，根据断言四）
有 Sn<S△<S圆 （断言三）
这表明 ε=S圆-S△<S圆-Sn=δn （如上图）
即 ε<δn
与n的选取矛盾，则假设S圆>S△不成立。
第二步，证定义三角形的面积不大于圆。
证明：
假设 S△>S圆
令 ε’=S△-S圆>0 (预先给定的面积)
根据断言七
当取充分大的N，使得 δN<ε' （δN见断言五，根据断言七）
有 S圆 <S△ < SN （断言六）
这表明 ε'=S△-S圆<SN-S圆=δN （如上图）
即 ε'<δN
与N的选取矛盾，则假设S△>S圆不成立。
综上第一步第二步证明，可知 S△=S圆。
用阿基米德的语言描述为：“由于圆的面积既不大于、也不小于（三角形面积），因此，圆的面积等于三角形面积。”
（六）.想到的一些闲话
- 从阿基米德的证明过程可以看出其严谨的思维，奇特的方法。在他的时代，这种反证法是一种绕圈子式的论证，在他之前，圆的面积是包括欧几里得都没能解决的问题，可见其困难和复杂的程度。
- 就像建一座房子，阿基米德每一块石头都需要自己亲手凿，用最原始的方式建了一栋房子，而这房子屹立千年，现在依然完好。
- 遗憾的是，阿基米德的证明最终只是用三角形的面积表示，并没有发现π的存在。但阿基米德随后在《圆的测定》第三个命题中，推导出了π的范围约为3.14。（知道存在这样一个常数，没有把周长中的常数与面积中的常数联系起来。）
- 圆的面积证明只是阿基米德数学遗产的一部分，其其他著作中论述的问题已经属于今天的微积分领域了。
- 由于所处的时代限制，没有简明的代数符号，阿基米德只能依靠陈述，犹如戴着镣铐跳舞。
- 阿基米德是被罗马士兵*死的。
1.刘徽的割圆术
