三角形周长的最大值怎么求,求三角形周长最值的方法

首页 > 实用技巧 > 作者:YD1662024-01-06 01:51:33

一道初中题-求最大的三角形周长

在图中PQRS是个正方形, 边长为4, 点T和U在变QR和RS上。∠UPT=45°, 求三角形RUT的可能的最大周长。

三角形周长的最大值怎么求,求三角形周长最值的方法(1)

解法1:初中解法,如图

三角形周长的最大值怎么求,求三角形周长最值的方法(2)

将三角形PSU逆时针旋转90度, 这样PS落在了PQ上, S落到了V,

PV=PU, PT=PT

而∠VPT=∠VPQ ∠TPQ=∠UPS ∠TPQ=90°-∠UPT=45°

即∠UPT=∠VPT

因此三角形PUT全等于三角形PVT,

所以UT=VT

因此三角形UTR的周长为:

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR VQ) (RT TQ)

因为VQ=US , RT TQ=RQ=4, UR US=SR=4

所以:

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR US) (RT TQ)

=SR RQ

=4 4

=8

所以三角形RUT的周长是个定值,其可能的最大值就是8.

解法2: 用高中的三角知识,

设∠SPU=θ,那么可以得知,QPT=90°-45°-θ=45°-θ

三角形周长的最大值怎么求,求三角形周长最值的方法(3)

应为PS=PQ=4, 所以

SU=4tanθ

QT=4tan(45°-θ)

因此UR=4-4tanθ

TR=4-4tan(45°-θ)

在三角变换中:

三角形周长的最大值怎么求,求三角形周长最值的方法(4)

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