23
若a和m互质，e和f相对于模m非同余，则ae，af相对于模m非同余。
这里只是条目22的逆定理。
显然，如果把a与0到m-1中的每个整数相乘，并把每个乘积简化为对于模m的最小剩余，那么这些最小剩余都不相等。并且，因为一共有m个剩余，所有剩余都不大于m，所以，从0到m-1的数都出现在这些剩余中。
24
给定数a，b；x为不确定数或者是变量。表达式ax＋b对于模m可以与任何数同余，其条件是m与a互质。
令与表达式ax＋b同余的数为c，令c-b对于模m的最小正剩余为e。从前一条定理可知，必定有一个值x＜m使得乘积ax对于模m的最小剩余为e；令这个值为v，则有av≡e≡c-b，因此av＋b≡c（mod m）。这就是需要做的。
25
任何用类似等式的方式提出两个同余的量的表达式，称为同余式。如果它包含一个未知数，当能够求出一个值（根）满足同余式时，这个同余式是可解的。现在我们明白了同余式的可解与不可解的含义。提到等式的一些区分方法，也可以对同余方程使用。超越同余方程的例子会在下文中出现；关于代数同余方程，按照未知数的最高次幂，可以分为一次，二次和更高次的同余方程。类似地，对于含几个未知数的同余方程组，我们可以探讨如何对其进行消元。
第2节 解一次同余方程
26
根据条目24，当模和a互质时，一次同余方程ax＋b≡c总是有解。假定v是x的一个合适的值，也就是说，同余方程的一个根，可知：所有对于模与v同余的数都是方程的根（参考条目9），所有的根都必须与v同余。因为，如果t是另一个根，av＋b≡at＋b，那么，av≡at并且v≡t（参考条目22）。我们总结：同余式x≡v（mod m）给出了同余方程ax＋b≡c的所有解。
因为通过互余的x的值解同余方程，得出的解总是伴随在一起的，而且就因为这一点同余的数可以按照等价考虑，我们将这种解看作同余方程的唯一的、相同的解。因为同余方程ax＋b≡c没有其他解，所以，我们就说它有且仅有一个解，或说它有且仅有一个根。例如，同余方程6x＋5≡13（mod 11）除了那些与5同余（mod 11）的数没有别的根。这个结论不适用于高次同余方程或未知数被乘以一个与模非互质的数的一次同余方程。
27
现在剩下的事是补充一些关于如何求解同余方程的知识。首先我们观察到：假设模与a互质，形如ax＋t≡u的同余方程的解依赖于ax≡±1；因为如果x≡r满足后者，x≡±（u-t）r就满足前者。因为同余方程ax≡±1（mod b）等价于不定方程ax＝by±1，并且我们现在已经熟悉如何求解这种方程，所以我们只要写出求解不定方程的算法即可。
假设数A，B，C，D，E，…按照下述方式依赖于α，β，γ，δ，…
A＝α，B＝βA＋1，C＝γB＋A，D＝δC＋B，E＝εD＋C，…
为了简便，按照如下方式记录
A＝［α］，B＝［α，β］，C＝［α，β，γ］，D＝［α，β，γ，δ］，…[1]
现在讨论不定方程ax＝by±1。式中a，b是正数，我们可以假设a≮b。现在，就像求两个数的最大公约数的算法一样，我们通过通常的除法形成等式
a＝αb＋c，b＝βc＋d，c＝γd＋e，…
使得α，β，γ，…，c，d，e，…都是正整数，并且b，c，d，e一直递减直到得到等式m＝μn＋1，这是必然的。结果就是
a＝［n，μ，…，γ，β，α］，b＝［n，μ，…，γ，β］
如果我们取x＝［μ，…，γ，β］，y＝［μ，…，γ，β，α］，当α，β，γ，…，μ，n项数为偶数，我们就有ax＝by＋1；当α，β，γ，…，μ，n项数为奇数，ax＝by-1。证明完毕。
28
欧拉是提出这种类型的不定方程的通解的第一人。在他的方法中，他用其他变量代替x，y，现在这个方法大家很熟悉。拉格朗日处理这个问题的方法有些不同。正如他指出的，从连分数的理论可知，如果分数
并且，如果把最后部分
