5. 如图,一铁杠长为1.6 m,两立柱高为2.2 m,将一根绳子的两端拴在立柱与铁杠的结合处,绳子自然下垂呈抛物线状. 他的身高为0.7 m的小孩子站在离立柱0.4 m处,其头部刚好触到绳子,则绳子最低点到地面的距离为 .
6. “互联网 ”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数表达式.
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
考点四：二次函数与一元二次方程的关系
一．二次函数与一元二次方程的关系:
1.以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根;以数定形,求出方程ax2 bx c=0的实数根,便得到抛物线y=ax2 bx c与x轴交点的横坐标.
2.一元二次方程ax2 bx c=m的解,即为二次函数y=ax2 bx c在当y=m时的两点的横坐标.
二．典型题专练
1已知二次函数y=ax2 2ax-3的部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2 2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ( )
A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
2.若二次函数y=x2 bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2 bx-5=2x-13的解为 .
3. 二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a-b c=0;③一元二次方程ax2 bx c 1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<-1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)
4. 在画二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
x | …… | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | …… |
y甲 | …… | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | …… |
乙写错了常数项,列表如下:
x | …… | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | …… |
y乙 | …… | -2 | -1 | 2 | 7 | 14 | …… |
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的表达式.
(2)对于二次函数y=ax2 bx c(a≠0),当x 时,y的值随x的值增大而增大.
(3)若关于x的方程ax2 bx c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
5. 已知二次函数y=x2 x a的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且 =1,求a的值.
6. 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值;
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
考点五：二次函数综合应用
一．二次函数压轴题,一般遵循多问解答的形式,第一问是对基础知识的考查,如求表达式等,第二问是对知识点的应用或小的拓展,第三问是在前两问的基础上进行开放性探究.
二．典型题专练
1. 已知二次函数y=x2 x m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )
A.m≥ B.m> C.m≤ D.m<
2. 已知二次函数y=(k-2)2x2 (2k 1)x 1与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k>且k≠2 B.k≥且k≠2 C.k> D.k≥且k≠2
3. 将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 .
4. 如图,顶点为M的抛物线y=ax2 bx 3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式.
(2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值.
