图 172 把六边形分割成三角形的 14 种方法
它也是生成有 n 1 片叶子的二叉树的数量。二叉树源于一个根节点， 然后从这个节点开始向两边分枝。每个分枝都以点或叶子结束。每个点必须继续分出两枝（图 173）。
图 173 5 棵有 4 片叶子二叉树
如果你觉得这个想法有点难懂，那么它和代数还有一个更直接的联系——计算在加法或乘法算式中插入括号的方法的总数，例如对 abcd 而言， 有C5 种可能：
一般而言， n 1 个符号有 Cn 种插入括号的方法。为了搞明白其中的联系， 我们可以把这些符号顺次填在树的叶子上。如果一对叶子有相同的节点，那么就插入括号。如图 174 所示，我们先从左往右把 4 片叶子标上 a 、b 、c 、d 。然后，从下往上在连接 b 和 c 的节点旁标记 (bc)。它上面的节点连接了 a 和标记为 (bc) 的节点，因此新的节点对应于 (a(bc))。最后，顶上的节点连接了 (a(bc)) 和 d，因此，它是 ((a(bc))d) 。
图 174 把二叉有根树转化成代数
许多其他的组合问题也会出现卡塔兰数；以上是最容易描述的一小部分。
魔方一个 3 X 3 X 3 魔方的幻方常数是 42。这样的魔方包含了 1,2,3......27 每个数各一次，平行于棱边的每行或经过中心的对角线中的数之和是相等的——这个和被称为幻方常数。所有
27 个数之和是 1 2 ... 27 = 378。这些数可以被分成 9 组不相交的三元组，而每个三元组相加后可以得到幻方常数，因此幻方常数必须是
