约翰·凯奇 ©Irving Penn
文 | 张兆宇
刚刚过去的2022年是美国作曲家约翰·凯奇诞辰110周年，去世30周年。作为《4’33”》的曲作者，凯奇以其先锋的创作风格在西方现代音乐中占据着重要地位。而凯奇对数字结构在其音乐作品构思中的灵活运用，使得他能摆脱由传统方式控制音乐材料所带来的束缚，促进了其先锋性创作风格的形成。本文试图通过分析作曲家在《奏鸣曲与间奏曲》第一首中对公约数概念的运用，找出作品节拍组织的新原则，以及新节拍组织原则与拍号系统之间的关系，探讨该应用对作曲家日后创作的影响。
作曲家对数字的兴趣
约翰·凯奇不仅是一位作曲家、音乐理论家，同时还是一位对哲学，特别是东方哲学有着浓厚兴趣的音乐学者。他被认为是偶然音乐、电子音乐，以及乐器的非常规使用等领域的先驱，是“二战”后西方先锋艺术最具代表性的人物之一。
凯奇于1912年生于美国洛杉矶，大约小学四年级开始随姨妈学习钢琴。不过，比起练习钢琴，他对视唱（奏）表现出了更大的兴趣，并进一步发展为对听众听音乐时所产生的想法的关注。这或许也是日后《4’33”》这首具有跨时代意义的作品得以面世的一个重要原因。
1928年，凯奇进入克莱尔蒙特市的波莫纳学院学习神学。然而，1930年他却以“大学对成为作家无用”而选择退学。他不喜欢循规蹈矩地阅读同一本书，而是喜欢浏览更多、更丰富的材料。正是这种学习方式为他后来创作出富有个性的作品提供了基础。
凯奇非常规地学习和运用知识的方式深刻影响了他的创作理念，这其中也渗透着他对数字运用的敏感与极高的兴趣。在作品《4’ 33”》中，音乐表达的无限遐想在准确的时间框架内有序进行，以无声的形式呈现在观众面前。在他为非传统打击乐所创作的《结构》系列作品中，节奏与数字结构的组织成为作品的主要构思。在钢琴作品《变化的音乐》中，基于东方哲学易经理论的算法作为音乐材料的产生手段，控制着包括音高、节奏，甚至表情记号等多个音响参数。这些反映在作品中的音乐创作手段，无不体现着凯奇对数字的独特理解与灵活运用，成为他音乐语言的代表性特征。而在《奏鸣曲与间奏曲》这部作品的第一首中，同样也可以看到凯奇对与数字相关的概念，即“公约数”概念的运用。
作品中对公约数的运用
作为凯奇的代表性创作手段“预制钢琴”的代表作品，《奏鸣曲与间奏曲》在凯奇的作品占有着重要地位。预制钢琴通常指在钢琴的琴弦上插入橡胶或螺栓等器件，从而使钢琴发出打击乐音色或类似的音响效果。这部创作于1946年至1948年间的作品由二十首短小的作品组成，可分为四个组，每组由四首奏鸣曲组成，各组之间由一至两首间奏曲相隔。整部作品要求使用一系列的“预制”手段，从而产生出众多变化的音色，同时保持了乐器在旋律上的表现力。大部分奏鸣曲是按照二部曲式完成，相互关联的音高和节奏动机贯穿于整套作品中。
《奏鸣曲与间奏曲》受印度哲学的影响，表现一种名为“永恒的情感”的理论，这些情感包括勇敢、性爱、愉快、惊讶、恐惧、愤怒、忧伤和厌恶。由于凯奇一直未透露哪一首代表着哪一种情感，因此，关于每首作品的情感归属问题只能由分析者根据音乐的实际表达进行推测。尽管如此，整部作品仍被认为是“一种在音乐上表达永恒情感的努力，并使它们共同归于宁静”。
凯奇在《奏鸣曲与间奏曲》的第一首中使用了公约数概念。公约数是一个数学术语，指能被若干个整数同时均整除的整数。如12和6这两个数字可以同时被1、2、3、6整除，因此，这四个数字即是12和6的公约数，6是最大公约数。
《奏鸣曲与间奏曲》第一首乐谱
《奏鸣曲与间奏曲》的第一首可以分成两个部分，1-12小节为前半部分，13-26小节为后半部分。两个部分的划分以12小节末尾的反复记号为分界线。11小节处9/8拍开始的渐慢记号更强调了这种划分的意义。而在前半部分，双竖线的存在又可将这一部分进一步划分为三个乐句。这三个乐句以及它们的拍号分别是：1-7小节，拍号为2/2；第8小节，拍号为7/4；9-12小节，拍号6/4和9/8各持续两小节。如果取四分音符为单位值，则第一乐句包含28个四分音符，第二乐句包含7个四分音符，第三乐句包含21个四分音符。通过观察，可以看到前半部分的三个乐句所包含的四分音符数量28、7、21这三个数字的公约数只有一个，也就是7。而这三个数字包含公约数7的数量分别是4、1、3。乐曲前半部分公约数的使用可以见下表。
表一：乐曲前半部分公约数信息
通过表一，我们可以看到数字7作为公约数代表着这样一种构思，即以7个四分音符为一组来划分音乐的节拍。那么，数字7作为公约数的出现是否只是巧合，后半部分还会不会再次出现？接下来来看乐曲的后半部分。
后半部分的拍号变化相对简单。因为只有一次变化，即20小节处的2/4拍，乐句划分即可以从这里开始。第一句始于13小节，这里的2/2拍持续了7小节。之后是第二句，4/2拍持续到乐曲结束，共7小节。因此，这两句所包含的四分音符数量分别是28和14。巧合的是，这两个数字的公约数也包含7，包含公约数7的数量分别是4和2。乐曲后半部分公约数的使用可以见下表。
表二：乐曲后半部分公约数信息
从表二可以看到，7仍然可以作为公约数使用。因此，数字7作为公约数而存在并不是巧合。
质数与稳定性
为何使用7这个数字，一种解释认为，这与7是质数有关。质数，即在大于1的自然数中，只能够被1或自身整除的数字。这样的数字由于不能够被细分成等值的部分（即不能够被均匀分解），因此在音乐中就具有了“稳定”的特征。我们可以看到，公约数概念在乐曲中起到了独立于拍号系统之外组织节拍的作用。而7以质数身份作为公约数，自身避免了被进一步划分，因此起到了稳定这种节拍组织方式的作用。
实际上，使用质数作为用数字结构组织材料的依据在实际作品中并不鲜见。在梅西安著名的室内乐作品四重奏《时间的终结》中，作曲家就使用了质数作为音高和节奏的控制参数。凯奇的这首作品，采用了以7个四分音符为一组对作品进行节拍组织，是以质数为单位组织材料的又一个例子。而公约数概念的运用，是对该作品的一个新的发现。
此外，该作品还隐含着另一重将公约数与7再次结合的设计。如果将前后两部分所包含的公约数，即7的数量相加，则分别得到8和6（4 1 3，4 2）。8除以6，去掉两边的公约数2，可以简化成4除以3，而4和3的和也是7。即前后两部分在使用公约数7来组织作品节拍分布的比例两边之和也恰好是7，且所得出的前部分公约数数量与整体所包含的数量的比例在黄金分割点0.618附近，这不得不说是作品节拍设计的精妙之处。
公约数概念的应用，对节拍组织重新划分进而独立于记谱拍号系统之外产生了重要作用。相比于梅西安及其他一些作曲家，凯奇对数字概念在作曲中的应用更加隐蔽，这种独立于拍号系统之外的节拍重新划分很难从谱面上观察和测算到，从而使这种对数字概念的应用显得“深藏不露”，并使作品从音响上打破了传统拍号记谱系统的束缚，产生出较为自由发展的节拍模式。音乐既在这种较为自由的节拍模式下“流动”，又遵循着由公约数所引导的新的划分规律，体现了自由而不失严谨的节拍组织原则。在这种节拍组织原则下，作品具有了由拍号系统与新的节拍组织划分碰撞而产生的“偶然”音响效果，可谓是“意外之喜”。凯奇在《奏鸣曲与间奏曲》第一首中对公约数概念的应用为现代音乐节拍组织的新方式提供了一个范例。
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