这里的根 β 是单根，即 f( β ) = 0 且 f ' (β) ≠ 0，于是：
由于 γ (x) 的连续性可知，存在一个领域（ β - δ，β δ )，对该领域内的任意 x ，都有 | γ' (x) < q |，其中 0＜q＜1，因此 γ (x) 为区间（ β - δ，β δ ) 上的一个压缩映像，于是我们可以得到如下结论：
由此可见，牛顿迭代法的局部收敛性较强，所以只有初值充分地接近，才能确保所迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加能够使该序列收敛的充分条件，
上式可以化为以下几种情况：
