在解析几何中,中点弦问题是一个很常见很重要的问题.中点弦问题通常用“点差法”求解,也可以列方程组,用韦达定理求解.反过来,如果弦满足某些条件(斜率是定值、经过定点或弦长为定值等),与两条相交直线都相交的弦的中点的轨迹方程是什么?轨迹是什么?这是一个值得探究的问题.
与两条相交直线都相交的弦为定长的弦中点的 轨迹表示圆或椭圆,中心为这两直线的交点,当两条 相交直线互相垂直时,表示圆;当两条相交直线不互 相垂直时,表示椭圆.
把两条相交直线改为两条平行直线也可以研究 这三类问题.以两条平行线的垂线为x 轴,以两条平 行直线的对称轴为y 轴,建立平面直角坐标系.设两 条直线的方程为x=±a,同理可分析得三种曲线都 为y 轴.两 条 平 行 线 的 弦 中 点 轨 迹 都 是 它 们 的 对 称轴.
在解析几何中,研究圆锥曲线弦中点的问题经常使用的方法有:解方程组用韦达定理、点差法、直 线的参数方程等.在研究的同时应注意圆锥曲线弦 中点的轨迹必须落在圆锥曲线轨迹的内部,可以通 过解方程组判别式,数形结合缩小轨迹范围.
