图12
图13
观察后，我们发现，最后结果的分子是整个小数部分减去不循环的部分（简称“整体减部分”）；最后结果的分母由9和0组成，经过分析，我们可以发现，9的个数与组成循环节的位数一致，0的个数与不循环部分的位数一致（简称“循9不循0”）。
到目前为止，有限小数和无限循环小数与分数的关系我们已经捋清楚了，那无限不循环小数是否也能转化成分数呢？
为了方便弄清这个问题，我们不妨换个角度思考一下，两个整数相除，如果除不尽结果有没有可能是无限不循环小数，带着这个问题，我们来挑战一下1/7化成小数，结果是多少？
图14
问题1不难思考，我们知道余数要比除数小，除数是7，余数的取值可能是0-6这七种情况。
问题2在计算1除以7时，除数7始终是不变的，当余数再次为3时，落下来一个0继续算，又变成了30除以7，商还是4。最后结果的也可以推测出来了，你知道是多少吗？
问题3两个数相除，除不尽时，结果不可能为无限不循环小数，只能是循环小数。这是为什么呢？两数相除，无论除数是多大，只要是一个具体的数，要保证余数比除数小，余数的取值必须是有限的，当余数出现和之前相同的情况，就意味着商的循环节开始了。这个解释小学生比较能接受，对于经验丰富的老师，还是要知道严谨的证明过程。具体过程可以参考德国数学家施笃兹关于无限不循环小数是无法表示成分数的证明。下面是我的另一种证明方式，感兴趣可以看看，见图15:
图15
到目前为止，小数与分数的关系终于水落石出，分数化小数时，只有三种情况情况出现，这样我们可以，这样我们可以把一开始讨论的小数分类表进行以下拓展：
