数学中的美丽证明通常指的是那些不仅正确、简洁和优雅，而且能够揭示数学不同领域之间意想不到联系的证明。这种证明不仅在逻辑上严谨，而且在结构和表达上展现出一种美感，有时还可能通过引人入胜的视觉效果增强其魅力。简而言之，它们不仅解决了数学问题，还以一种引人深思和审美上令人满意的方式做到了这一点。
以解析数论为例，有一本著名的数学书籍叫做《Proofs from THE BOOK》。
“THE BOOK”基于保罗·埃尔德什（Paul Erdős）的一个著名概念。这是一个假想中的书籍，据说包含了上帝保存的每一个数学定理的最优雅证明。换句话说，这是一个关于数学定理的最佳、最优美解决方案的理想化集合。
《Proofs from THE BOOK》这本书试图成为这种理想化书籍的一个近似。作者挑选并呈现了他们认为可能包含在“那本书”中的数学证明，这些证明以其特别的优雅和深刻见解而著称。
特别地，书中的第4章讨论了一个特定的数学话题：如何将数字表示为两个平方数的和。在这一章节中，特别提到了第21页上的一个定理，称为“费马二平方定理”。这个定理声明，每个形式为4K 1的质数（即除以4余1的质数）都可以表示为两个平方数之和。这是数论中的一个经典结果，展示了数学中数字结构的美妙性和深刻性。
例如，
