为了验证这个函数是否是一个对合，考虑以下步骤：
- 应用函数：首先，按照函数的规则应用这个映射。结果是红色球映射到自己，而绿色和蓝色球交换位置。
- 再次应用函数：接着，再次对这些球应用同样的映射规则。红色球依旧映射到自己，而刚才交换位置的绿色和蓝色球再次交换位置，回到它们的初始位置。
因为应用两次函数后，它们回到了原位，这个函数是自身的逆函数，因此是一个对合。
在实数上的一些常见对合包括f(x) =-x和f(x) = 1/x。f(x) = -x是一个简单的对合函数。如果你对一个实数x应用这个函数两次，你首先得到-x（即x的负数），再次应用这个函数于-x，你又得到-x的负数，也就是x本身。因此，f(f(x)) = x，满足对合函数的定义。举例来说，如果x是5，那么f(x)变成-5，再次应用f，即f(-5)，得到5，回到了原始值。
让我们重新聚焦于彩色球的集合S，并尝试创建一个对合函数。这需要我们定义一个函数f，它负责将集合S中的元素映射到另一个元素上，且这个映射过程需要确保任何元素经过两次f函数的作用后，都能回到其原始状态。例如，对于蓝色球，我们可以设定函数f使其映射到自身，这样无论应用多少次f，蓝色球始终保持蓝色。这类在函数作用下保持不变的元素，我们称之为固定元素（Fixed Element）。
但是对于那些不映射到自己的元素怎么办？以绿色元素为例：在函数f作用两次后，绿色元素需要映射回绿色元素。为了实现这一点，绿色元素在第一次映射时必须映射到另一个中间元素。
然后，这个中间元素在第二次映射时又映射回绿色元素。这样，经过两次映射后，绿色元素回到了其原始状态，符合对合函数的要求。
这种情况下，绿色元素和它映射的中间元素形成了一对互相映射的元素，即一个映射到另一个，然后又反过来映射回来。因此，这些不直接映射到自己的元素是成对出现的，并被称为配对元素（Paired Element）。
总结来说，对于一个特定的集合，其中的每个元素在对合函数的作用下要么映射到自己，即成为一个“固定元素”，要么与集合中的另一个不同的元素配对，形成一对“配对元素”。这种区分很重要，因为它使得我们可以根据集合中的固定元素和配对元素的特性来分析整个集合。
例如，由于配对元素需要互相映射来满足对合函数的定义，因此它们总是成对出现。这意味着配对元素的总数必须是偶数。这样的特性使我们能够从集合的结构中得出一些结论。即使我们只知道关于配对元素或固定元素的信息，这些信息也足以帮助我们理解和描述整个集合S的性质。
现在我们知道，对合中的每一个元素要么是一个固定元素，要么是一个配对元素，所以这个集合的总大小等于固定元素的数量加上配对元素的数量。
鉴于配对元素的数量是偶数，这告诉我们集合大小的奇偶性完全由固定元素数量的奇偶性决定。换句话说，如果固定元素的数量是奇数，那么集合S的大小就是奇数；如果是偶数，S的大小就是偶数。
2.风车（The Windmill）
我最喜欢数论的一点是，它的定理通常陈述简单但证明却非常复杂，而且经常与数学的其他意想不到领域相关联。以解析数论为例，黎曼ζ函数本身是一个高度复杂的数学对象，它的性质和相关定理的证明涉及到了分析学、复变函数论等数学的其他领域。
