设想这三个元素分别为x、y和z。现在，我们将这个概念应用到风车模型上，形成一个从（x,y,z）结构的风车映射到（x,z,y）结构的风车的映射过程。
这种映射被我们称为“翻转映射（flip map）”，因为它改变了y和z元素之间的关系。这种翻转映射具有对合的特性，即如果我们对风车模型连续两次应用这个映射，就会返回到初始的（x,y,z）结构。例如，在这种映射下，一个由数字（3,1,5）（x=3, y=1, z=5）构成的风车会转换成（3,5,1）（x=3, z=5, y=1），并且这个过程是可逆的，再次应用翻转映射会把（3,5,1）变回（3,1,5）。
回想一下我们之前关于风车的讨论，我提到过一个关键点：寻找一个特殊类型的风车，它代表形式为4K 1的质数p，并且在这个风车中，y和z的值相等。这一点至关重要，因为如果在风车模型中能找到y等于z的情况，那么我们就可以将质数p表示为x^2 4y^2，也就是x^2 (2y)^2的形式。这样就为我们提供了一种将p分解为两个平方数之和的方法。
现在，让我们考虑当一个风车通过翻转映射映射到它自身时的情况，也就是找到一个所谓的固定点。
由于y和z的位置互换，为了让风车结构在映射后保持不变，y和z必须具有相同的值。这导致了我们问题解决方法的转变。最初，我们的目标是直接证明形式为4k 1的质数p可以被分解成两个平方数之和。现在，我们的策略转变为证明：在对形式为4k 1的质数p的风车应用翻转映射时，存在一个固定点（即风车结构在映射后保持不变的状态）。如果能够证明这样的固定点确实存在，那么我们就间接证明了质数p可以分解为两个平方数之和的可能性，从而达到了我们最初的目标。
那么，我们如何证明翻转映射有一个固定点呢？
接下来，让我们关注一个不同类型的对合函数，即Zagier映射。这个映射在仅通过方程式观察时可能不那么直观，但实际上，它拥有一个既简单又优雅的视觉表现。因此，我想先从视觉角度向你介绍这个映射的样子。通过视觉化展示，Zagier映射的直观美感和本质就会变得清晰易懂。通过这种方式，我们可以更好地理解Zagier映射的工作原理和其在数学中的特殊地位。
让我们从29的一个风车开始，（3,5,1），
在Zagier映射的第一个步骤中，我们的目标是在风车结构内确定一个最大的中央正方形，这个正方形的面积应与风车代表的整体数值（例如29）相匹配。如果当前风车的中央正方形的大小不足以表示这个总数值，我们就需要将其调整为最大可能的正方形。
