所以也有
当然, 我们还可以让计算机选择50 000个随机点, 或者500 000个点, 或者不惜耗电让它选出任意多个点。那么, 我们会更加有信心得到这个抛物线形湖的面积的估测值。
这是一个初等的模拟实例, 现实世界中很多更加奇妙的现象都可以利用蒙特卡罗方法加以研究。另外, 正如我们将在后面看到的那样, 例子中的抛物线的面积实际上可以用积分方法精确地得到。但是这个例子仍然让我们感受到了概率的威力。
自从雅各布 • 伯努利证明他的伟大定理以来已经过了三个多世纪。他原来的论证已经被更加有效地反映这一事物本质的简化版本所取代, 这样的情况在数学中很常见。今天的标准证明是根据俄罗斯数学家切比雪夫的一个结果, 此人我们在第A章中遇到过。这一方法, 以及如期望值、随机变量的标准差等一系列概念使得我们能够把大数定律的证明简化到一页纸上, 同时表明伯努利的证明的确很麻烦。然而, 以伯努利所不具有的宽容精神, 我们将坚决抵制下面这样的念头：仅因为伯努利的证明需要一章篇幅才能讲清, 而“我们只需要一页纸就可以完成这项工作”, 就把他的工作贴上“无用”的标签。
这就是进步的常态。但是, 在全人类的奋斗历程中, 我们最好要记住这些前辈。正如今天的音响技术播放出的音乐要远远优越于19世纪留声机播出的刺耳声音, 现代概率论也缩短并简化了伯努利的大数定律的证明。尽管一系列的进步已经说明托马斯 • 爱迪生的原创是多么陈旧, 但是我们仍对他满怀敬仰之情。同样, 我们也应该为伯努利自感骄傲的黄金定理而给予他同样的尊敬。
《数学那些事：伟大的问题与非凡的人》
作者：[美]威廉·邓纳姆（William Dunham）
出版社：人民邮电出版社
出版时间：2022-03
