考纲原文
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.
知识点
一、函数的概念
1.函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法.
解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;
列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;
图象法:注意定义域对图象的影响.
2.必记结论
(1)相等函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.
①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.
②函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x−1,g(t)=2t−1,h(m)=2m−1均表示相等函数.
(2)映射的个数
二、函数的三要素
1.函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
2.函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是y=f(x)的形式,可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不注明定义域往往导致错误.
3.函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合,熟练掌握以下四种常见初等函数的值域:
(1)一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的值域为R.