由此，阿里塔克斯想到，当我们看见月球正好是半边明亮、半边黑暗的时刻（这发生在月亮处于上下弦附近时），我们观察者的位置就应该在那个假想的平面S上，我们的视线和太阳光在月球中心相交，并且成90度的交角。这样，地球上的观察者、月球中心、太阳中心的连线就构成了一个直角三角形。这是这个天才想法最关键的一步，我们不需要站到月球上去，只是通过推理就可以“测出”特定时刻地月、日月连线的夹角。学过几何的人对于直角三角形的特点都是非常熟悉的，只要再测出月地、地日连线的夹角，就能计算出这三个距离的相对关系。
阿里塔克斯经过简单的测量得到的结果是月地、地日连线的夹角大于87度。这就是假设4“当月亮上下弦时，月球与太阳之间的角距离比一个直角小其1/30”的结果。（命题1）
农历初七、初八，下午太阳快落山时，有时在我们头顶方向可以看到上弦月，这时可以测量出月地、地日连线夹角
农历十二、十三，早上太阳刚升起时，有时在我们头顶方向可以看到下弦月，这时可以测量出月地、地日连线夹角
有了这个数据，这个巨大的三角形就知道了三个角度和一条边长（月地距离设为1），计算出日地、日月的相对距离就不是难事，阿里斯塔克计算的结果是，太阳到地球的距离是月亮到地球距离的19倍以上。
