因此，随着标准差（分子）的增加，标准误差（整个分数）也会增加。这导致了较大的误差边际和更宽的置信区间。（有关标准误差的更多信息，请参见第11章。）
原始人口中的更多变异性会增加误差边际，使置信区间变得更宽。这种增加可以通过增加样本量来抵消。
计算总体均值的置信区间当正在测量的特征（如收入、智商、价格、身高、数量或重量）是数字时，大多数人希望估计总体的均值。您可以通过使用样本均值，x̅，加上或减去一个误差边际来估计总体均值，μ。其结果被称为总体均值的置信区间，μ。其公式取决于是否满足某些条件。我将条件分为两种情况，在以下部分进行说明。
情况1：已知总体标准差在情况1中，已知总体标准差。在这种情况下，总体均值的置信区间（CI）的公式为
其中x̅为样本均值，σ为总体标准差，n为样本大小，z*代表标准正态分布中与所需置信水平相对应的z*-值（参见表13-1以获取给定置信水平的z*-值）。
在这种情况下，数据要么必须来自正态分布，如果不是这样，那么n必须足够大（至少30左右），使中心极限定理发挥作用（参见第11章），从而允许在公式中使用z*-值。
要在情况1的条件下计算总体均值的CI，请执行以下操作：
- 确定置信水平并找到适当的z*-值。请参阅表13-1。
- 找到样本大小（n）的样本均值（x̅）。注意：总体标准差被假定为已知值，。
- 将z*乘以σ，然后除以n的平方根。这个计算给出了误差边际。
- 取x̅加上或减去误差边际以获得CI。CI的下限是x̅减去误差边际，而上限是x̅加上误差边际。
例如，假设您在自然资源部门工作，想要以95%的置信水平估计鱼塘中狼鳕鱼苗的平均长度。
- 因为您希望95%的置信区间，所以您的z*-值为1.96。
- 假设您随机抽取了100条鱼苗，并确定平均长度为7.5英寸；假设总体标准差为2.3英寸。这意味着x̅=7.5，σ=2.3，n = 100。
- 将1.96乘以2.3除以100的平方根（即10）。因此，误差边际为± 1.96 ∗（2.3 ÷ 10）= 1.96 ∗ 0.23 = 0.45英寸。
- 因此，鱼塘中狼鳕鱼苗平均长度的95%置信区间为7.5英寸 ± 0.45英寸（区间的下限为7.5 – 0.45 = 7.05英寸；上限为7.5 0.45 = 7.95英寸）。
在计算置信区间后，请确保您始终以非统计学家能理解的语言解释它。也就是说，用问题中的术语谈论结果，以弄清问题的上下文，统计学家称之为在“问题的背景下解释结果”。在这个例子中，您可以说：“以95%的置信度，基于我的样本数据，这整个鱼塘中狼鳕鱼苗的平均长度在7.05英寸到7.95英寸之间。”（始终确保包含适当的单位。）
情况2：总体标准差未知或n较小在许多情况下，您不知道总体标准差，或样本大小较小（小于30），您不能确定您的数据来自正态分布，因此您用样本标准差s来估计它。 （在后一种情况下，不能使用中心极限定理；请参见第11章。）在任一情况下，您不能再使用标准正态（Z-）分布的z*-值作为临界值；您必须使用比那个更大的临界值，因为不知道临界值是多少或数据较少。
在情况2中，一个总体均值的置信区间的公式为
，其中t*n – 1是t分布的关键t*-值，自由度为n – 1（其中n是样本大小）。常见置信水平的t*-值是通过t表的最后一行找到的（在附录中）。第10章详细介绍了t分布及如何使用t表。
t分布的形状与Z分布类似，只是更扁平和更分散。对于较小的n值和特定的置信水平，t分布上的关键值比Z分布上的关键值要大，因此当您使用t分布的关键值时，置信区间的误差边际将更宽。随着n值的增大，t*-值更接近z*-值。（第10章详细介绍了t分布及其与Z分布的关系。）
在情况1中的鱼塘示例中，假设您的样本大小是10而不是100，其他一切都一样。在这种情况下，t*-值来自具有10 – 1 = 9自由度的t分布。通过查看t表（在附录中），可以找到这个t*-值。在最后一行找到置信水平所在的位置，并找到95％的置信水平；这标记了您需要的列。然后找到与df = 9相对应的行。交汇行和列，您找到t* = 2.262。这是样本大小为10的95％置信区间的t*-值。 （请注意，这比表13-1中找到的z*-值1.96大。）计算置信区间，您得到
，或5.86到9.15英寸。 （第10章详细介绍了t分布及如何使用t表。）
请注意，这个置信区间比n = 100时找到的置信区间宽。除了具有较大的关键值（t*与z*相比），样本大小要小得多，这增加了误差边际，因为n在分母中。
在需要使用s的情况下，因为您不知道，置信区间也将更宽。还经常出现未知和样本大小较小的情况，此时置信区间也较宽。
确定所需的样本大小置信区间的误差边际受样本大小的影响（参见前文的“考虑样本大小”部分）；随着样本大小的增加，误差边际减小。反过来看，如果您想要较小的误差边际（难道不是每个人都想要吗？），您需要更大的样本。假设您准备进行自己的调查以估计总体均值；提前知道您需要的样本大小以获得想要的误差边际会很好，这样可以为您节省金钱和时间，并且在误差边际方面可以接受结果，以免以后出现任何意外。
当您进行置信区间时，计算所需样本大小以获得所需的误差边际（MOE）的公式是
