如图，△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，求BC边上的高h。
计算h之前，先先证明一个结论：在△ABC与△DEF中角A、B、C所对边分别为a、b、c，D、E、F所对边为d、e、f，若A与D相等或互补，则有以下关系式：(b² c²-a²)/S△ABC=±(e² f²-d²)/S△DEF。
根据余弦定理cosA=(b² c²-a²)/(2bc)，cosD=(e² f²-d²)/(2ef)，如果A=D，则有：(b² c²-a²)/(2bc)=(e² f²-d²)/(2ef)。因为A与D互补，所以sinA=sinD，且不可能为0，等式两边分别除以sinA与sinD等式仍成立：(b² c²-a²)/(2bcsinA)=(e² f²-d²)/(2efsinD)，化简得：(b² c²-a²)/(4S△ABC)=(e² f²-d²)/(4S△DEF)
⇒(b² c²-a²)/S△ABC=(e² f²-d²)/S△DEF当角A、D互补时cosA=-cosD，取负号。
回到原来问题，对△ABC和△ABH利用关系式可得：
(c² a²-b²)/S△ABC=(c² BH²-h²)/S△ABH因为S△ABC=ah/2，S△ABH=BH·h/2，且h²=c²-BH²。代入上式整理得：
(c² a²-b²)/a=2BH²/BH=2BH，所以可得：BH=(c² a²-b²)/(2a)。h=√(c²-BH²)=√(4a²c²-(a² c²-b²)²/(2a)。
顺便说一下S△ABC=ah/2=√(4a²c²-(a² c²-b²)²/4。是不是眼熟，是的，这个就是秦九韶面积公式，与海伦公式可以互相转换。
