欧拉公式与三角函数的推导,欧拉公式与三角函数关系

所以e^it也确实代表质点在单位圆上的运动。如何说明这种运动是逆时针匀速呢？我们可以看它的速度向量，也就是e^it的导函数。根据e^x的微分方程，我们有

所以，每个时刻的速度向量都是位置向量顺时针旋转90度，

因此e^it确实也代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动，速度也为1。

所以，既然左右两边的函数代表的是同一个运动，欧拉公式自然就成立了。另外，在时间 t=π时，质点刚好走过半圆周，达到点(-1,0)。这时欧拉公式就变成

根据e^x的函数方程，