另外，在负曲率双曲面上画三角形，它的内角之和会小于180°。这些无一例外得证明了非欧几何的正确性。
值得一提的是，1854年，高斯的学生黎曼基于非欧几何又创造性地提出：过直线外一点，不能作直线和已知直线平行。
这种情况是在曲率为正常数的曲面上实现的。你可以理解为：在地球上，想象一下经纬度是实体线，那么最终地球两侧“平行线”（经纬度）都会相交。在这种情况下，“平行线”都会相交，自然也就没有真正意义上的平行线，所以黎曼命题得证。
看到这么多类型的几何，你可能有点懵。简单地说：欧式几何的条件是曲率恒等于零；罗氏几何的条件是曲率为负常数；黎曼几何的条件是曲率为正常数。
因此，如今的非欧几何包含罗氏几何和黎曼几何。
事实上，非欧几何的基础——曲面空间才是真正的宇宙空间。宇宙并不是平坦的，而是不规则得凹凸不平。因为曲率的变化无常，所以“平行线”相交也是普遍存在的。因此爱因斯坦将非欧几何作为探索宇宙的重要工具。
如此看来，欧式和非欧式几何只不过是不同层面上的研究，并不是互相矛盾的。欧式几何到目前都是平面几何的真理，那么可以被翻译成欧式几何的非欧几何也就没有矛盾，是完全正确的。
当然正是每一位数学家不断地“钻牛角尖”，才可以让数学定义变得更加科学。因此，现如今我们义务教育阶段学的平行线公理，都会在公理前加上六个字：在同一平面内。
自贝特拉米发表证明非欧几何可以实现的论文后，在公众视野中消失已久的罗巴切夫斯基这个名字又被重新提及，越来越多的数学家投入到了非欧几何的扩展研究中。
爱因斯坦了解到非欧几何后，可以说是欣喜若狂。相对于适用平直空间的欧式几何，广义相对论中弯曲的空间，这不正可以用非欧几何来作推算吗。
就这样，这个曾被认为歪理的理论，成为了制作钥匙的重要工具，爱因斯坦也用广义相对论这把荟萃人类无限智慧的钥匙打开了宇宙的大门。
非欧几何不仅对数学天文等领域产生重要的影响，它还改写了哲学发展史。你可能会问了，这数学怎么能和哲学扯上关系呢？其实各个学科和领域都是互关的。
欧洲第二次思想解放运动是发生于17、18世纪的启蒙运动。这场运动涌现出了大批富有智慧的人才，其中德国古典哲学创始人康德是其中一颗璀璨的明星。
他的康德哲学就是以欧几里得空间作为支柱的。非欧几何的出现让很多人不再用孤立静止片面的观点看待世界，而是用辩证的眼光看待事物。这无异于宣告康德哲学的不足之处，对世界哲学发展产生了深远的影响。
1893年，曾将罗巴切夫斯基伤透心的喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的雕像。毋庸置疑，这位数学家就是罗巴切夫斯基，这份迟来的认可想必能让他在九泉之下安心了。
